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파이의 발견 파이는 어떻게 발견되었을까요? 타임머신을 타고 과거로 가보지 않는 이상 정확한 과정은 알 수 없습니다. 하지만 합리적인 추측은 가능합니다. 과거 어느 시기에 사람들은 닮음비를 발견했을 것입니다. 예를들어 정사각형은 그 크기가 달라도 밑변과 높이의 비가 1:1 인 것을 알게 되었을 것입니다. 가로가 2, 세로가 1인 직사각형도 모양을 유지하고 크기를 키우면 가로 세로 비가 2:1임을 알게 되었을 겁니다. 그들은 이런 결론을 내립니다. "비슷하게 생긴 도형들은 크기가 변해도 무언가 유지되는 비율이 존재한다." 이런 생각을 원에도 적용한 것입니다. 원은 크기가 달라도 모양이 전부 같으므로, 원에도 뭔가 유지되는 비율이 있지 않을까 생각하며 이런저런 값으로 비율찾기를 시도하던 중. 둘레를 지름으로 나눈 값이 원.. 2021. 2. 9.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 오미크론 vs 오메가 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 오미크론 vs 오메가 그리스어에는 24개의 알파벳이 있습니다. 영어의 '오' 발음을 하는 알파벳은 두개가 있는데요. 15번째 알파벳인 오미크론과 마지막 알파벳인 오메가입니다. 오미크론 대문자 Ο 오미크론 소문자 ο 오메가 대문자 Ω 오메가 소문자 ω 오미크론은 O+micron 입니다. 그리스어에서 μικρόν 은 '작은' 이라는 형용사입니다. 따라서 O micron 은 '작은 O' 라는 의미입니다. 오메가는 O+mega 입니다. 그리스어에서 μέγα 는 '큰' 이라는 형용사입니다. 따라서 O mega는 '큰 O' 라는 의미입니다. 크고 작음의 의미가 알.. 2021. 2. 4.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 단어읽기 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (특별편) 단어읽기 수학에 사용되는 그리스어를 읽을 때 그 발음은 고대그리스어에 가깝기 때문에 고대그리스어로 단어들을 읽도록 하겠습니다. 그리스어 알파벳 소문자 대문자를 전부 배워보았습니다. 알파벳들을 더 익숙하게 만들겸 그리스어 단어 몇개를 배워봅시다. 영어의 발음과 비슷해서 이미 익숙한 단어들입니다. Αλφάβητο (알파비토) 알파벳 위 단어를 현대 그리스어로 읽으면 알파(fa)비(vi)또구요. 고대 그리스어로 읽으면 알파(fa)베토입니다. φιλία(필리아) 우정 θέμα(테마) 아래 놓인 것, 주제 χάρισμα(카리스마) 선물, 매력 κόσμος(코스모.. 2021. 2. 4.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (25) 유리식의 정의 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[③유리함수]-[(25) 유리식의 정의] 유리식의 정의 유리식은 다항식/다항식 으로 표현되는 식입니다. 두 다항식 A,B 가 있을 때 아래와 같이 표현되는 식이 유리식입니다. $\frac{A}{B}$ 식이 정의되어야 하므로, B는 0이 아니라는 조건이 필요합니다. 다항식이 무엇인지는 기억나나요? 다항식은 단항식들의 덧셈으로 이루어진 식입니다. 단항식은 수와 문자의 곱으로 이루어진 식입니다. 다항식의 예는 아래와 같습니다. $3x^{2}+5xy-3$ 유리식의 예는 아래와 같습니다. $\frac{3x^{2}+5xy-3}{3x+3}$ 2021. 2. 2.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (3편) 대문자 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (3편) 대문자 지난 시간까지 공부한 소문자는 아래와 같습니다. α 알파 β 베타 γ 감마 δ 델타 ε 엡실론 ζ 제타 η 에타 θ 쎄타 ι 요타 κ 카파 λ 람다 μ 뮤 ν 누 ξ 크사이(자이) ο 오미크론 π 파이 ρ 로 σ 시그마 τ 타우 υ 입실론 피 χ 카이 ψ 프사이 ω 오메가 소문자 앞에 대문자를 추가해봅시다. 영어 대문자와 모양이 동일한 알파벳부터 추가하겠습니다. 모양만 같지 발음은 다른 경우도 있습니다. Α α 알파 Β β 베타 γ 감마 δ 델타 Ε ε 엡실론 Z ζ 제타 Η η 에타 θ 쎄타 Ι ι 요타 Κ κ 카파 λ 람다 Μ μ 뮤 Ν ν 누.. 2021. 2. 2.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (2편) 나머지 소문자 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (2편) 나머지 소문자 지난시간에 우리가 이미 알고 있는 그리스어를 꺼낸 결과는 아래와 같습니다. 원주율 π 각도 θ 근 α β γ 허근 ω 표준편차 σ 밀도 ρ 파장 λ 모평균 μ 카이 χ (카이제곱분포) 입실론-델타 ε δ 카파 κ (의류 상표) 타우 τ (넷플릭스 오리지널 영화) 카이 χ (카이코코라는 핸드폰, LG텔레콤) 위에 있는 그리스어 알파벳을 순서대로 표에 채우면 아래와 같습니다. 그리스어 알파벳은 24개입니다. α β γ δ ε θ κ λ μ π ρ σ τ χ ω 나머지 알파벳을 채워봅시다. 엡실론 다음에 나오는 알파벳은 제타입니다. 영어 Z에 꼬.. 2021. 2. 1.

오일러 공식 유도 (테일러급수 이용) 오일러가 발견한 오일러공식을 유도해봅시다. 파인만은 이 공식을 보석이다, 수학분야에서 가장 놀라운 공식이다 라고 표현했습니다. 그도 그럴것이, 이 공식은 수학,물리학,공학의 다양한 분야에서 사용됩니다. 제 경우는 학부시절 동역학(Dynamics) 수업에서 이 공식을 처음 접했습니다. 이름에서 알 수 있듯, 레온하르트 오일러가 유도했습니다. 오일러는 스위스 수학자이며, 베르누이의 제자입니다. 테일러급수를 이용한 유도 테일러 급수의 일반형은 아래와 같습니다. 테일러 급수까지 유도하지는 않겠습니다. $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^{2}+\cdots $ 테일러급수에서 a에 0을 넣은 형태.. 2021. 1. 30.

오일러 공식 유도 (복소평면과 미분을 이용) 복소평면과 미분을 이용한 유도 노벨 물리학상 수상자이자 20세기 최고의 물리학자인 리차드 파인만이 "수학에서 가장 리마커블한 공식" 이라고 칭한 오일러 공식을 유도해봅시다. 복소수는 복소평면에 나타낼 수 있습니다. 크기가 1인 복소수를 극좌표로 나타내면 아래와 같습니다. $cos(x)+isin(x)$ 이 값을 함수 $f(x)$ 라고 놓겠습니다. $f(x)=cos(x)+isin(x)$ 양변을 $x$로 미분합시다. $f'(x)=-sin(x)+icos(x)$ -1은 $i^{2}$ 이므로 아래와 같이 바꿔줍니다. $f'(x)=i^{2}sin(x)+icos(x)$ 우변을 i로 묶어줍니다. $f'(x)=i\left ( isin(x)+cos(x) \right )$ 우변의 괄호 안의 항은 f(x)입니다. $f'(x)=.. 2021. 1. 30.

수학인을 위한 그리스어 알파벳 (1편) 이미 아는거 꺼내보기 목차 1편) 이미 아는거 꺼내보기 2편) 나머지 소문자 3편) 대문자 특별편) 단어읽기 특별편) 오미크론 vs 오메가 수학인을 위한 그리스어 알파벳 (1편) 이미 아는거 꺼내보기 그리스어 알파벳 대소문자는 수학, 물리학 등에서 자주 등장하는데요. 그리스어 대소문자를 설명하는 영상입니다. 이 영상에서 나오는 발음들은 그리스어를 영어로 읽은 발음입니다. 우리에게 익숙한 발음이에요. 예를 들어 베타는 현대 그리스어로 발음하면 비따입니다. 이 영상에서는 베타라고 부르겠습니다. 파이도 현대 그리스어로 발음하면 삐인데 파이라고 부르겠습니다. 세 편으로 나눴습니다. 1) 일단 소문자 아는거 다 꺼내보자 2) 나머지 소문자 3) 대문자 오늘은 1편입니다. 일단 그리스어 소문자 아는거 전부 꺼내봅시다. 우리는 생각보다 .. 2021. 1. 29.

등호의 탄생과 그 의미 등호는 로버트 레코드(Robert Recorde) 라는 영국사람이 처음 만들어 사용했다. 약 1512년경에 출생한 로버트는 40대에 이라는 책을 출간한다. 이 책은 영국 최초의 대수학책이라고 한다. 이 책에서 등호가 처음 사용되었다. 등호는 "이 두 선만큼 같은건 없다"라는 의미로 착안했다고 한다. 평행한 두 선을 보며 등호기호를 떠올린 것이다. 2021. 1. 28.

근의 공식 유도 스피드 솔루션 근의공식의 일반적인 유도과정은 아래와 같습니다. Step1) 이차방정식의 일반형 $ax^{2}+bx+c=0$ Step2) 1,2차항을 a로 묶어줌 $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x \right )+c=0$ Step3) 완전제곱식을 만들기 위해 1차항 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼줌 $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right)^{2} - \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} \right )+c=0$ Step4) 완전제곱식이 될 항만 남기고 괄호 밖으로 꺼냄 $a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x + \left ( \frac{b}{2a} \right )^{2} \right )- \frac{b.. 2021. 1. 27.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (24) 역함수의 그래프 수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(24) 역함수의 그래프] 역함수의 성질 그래프 $y=f(x)$ 라는 함수가 있다고 해봅시다. 이 함수의 역함수를 $y=f^{-1}(x)$ 라고 합시다. $y=f(x)$ 위에 한 점 $(a,b)$ 가 있을 때, $f(a)=b$ 입니다. 역함수에서는 정의역과 치역이 서로 바뀌므로 $a=f^{-1}(b)$ 가 됩니다. 이 원리를 이용하면 $y=f(x)$위의 임의의 점 $(a,b)$ 에 대응하는 점 $(b,a)$가 역함수 $y=f^{-1}(x)$ 에 존재함을 알 수 있습니다. 점 $(a,b)$ 와 $(b,a)$ 는 $y=x$ 라는 직선에 대해 대칭관계입니다. 따라서 함수 $y=f(x)$ 와 그 역함수 $y=f^{-1}(x)$ 는 직선 $y=x$에 대하.. 2021. 1. 26.

성경에 나오는 파이(π) 구약성경의 열한번째 책인 열왕기상에는 아래와 같은 구절이 등장합니다. 그 다음에 후람은 놋쇠를 부어서 바다 모양 물통을 만들었는데, 그 바다 모양 물통은, 지름이 열 자, 높이가 다섯 자, 둘레가 서른 자이고, 둥근 모양을 한 물통이었다. (열왕기상 7장 23절) 여기서 한 자는 30.4cm라고 합니다. 둥근 모양의 물통이라는 것을 보니 형상이 원기둥인 것 같습니다. 지름, 높이, 둘레는 아래와 같습니다. 지름 : 10자 높이 : 5자 둘레 : 30자 파이는 (원 둘레)/(지름) 입니다. 성경에 나온 값으로 파이를 계산해보면 3이 됩니다. 열왕기상은 기원전 560~540년 사이에 기록된 것으로 알려져 있습니다. 2021. 1. 26.

bit와 byte의 차이 평생 기억하기 (비트와 바이트) 우리는 컴퓨터가 0과 1로 모든 작업을 처리한다는 것을 알고 있습니다. 0과 1만을 이용하는 수체계를 이진법이라고 합니다. 컴퓨터가 이진법을 사용하는 이유는 '효율적'이기 때문입니다. 이진법을 이용하면 전선 한가닥으로 모든 수체계를 표현할 수 있습니다. 전류가 흐른다를 1, 흐르지 않는다를 0으로 놓으면 됩니다. 따라서 컴퓨터가 다루는 정보의 가장 작은 단위는 0 또는 1 이라는 이진법 한자리수입니다. 이 단위는 비트(bit)일까요 바이트(byte)일까요? 컴퓨터를 잘 알지 못하는 사람들에게는 자주 헷갈리는 용어입니다. 헷갈리지 않도록 뇌에 각인시켜봅시다. 컴퓨터가 정보를 처리하는 가장 작은 단위는 이진수입니다. 0 또는 1이죠. 이진수를 영어로 binary digit 이라고 합니다. binary 는 '.. 2021. 1. 26.

OBS 싱크 맞추기, frame -> ms 변환 (30fps, 60fps) OBS로 유튜브 스트리밍을 할 때 싱크 문제가 발생할 수 있습니다. 먼저 유튜브 스트리밍을 하는 간단한 상황을 설정해봅시다. 노트북에 OBS 를 설치하고 유튜브 스트리밍을 할 것입니다. 영상은 스마트폰을 캠으로 이용할 수 있는 프로그램으로 스마트폰에서 영상신호를 받고, 노트북에 마이크를 하나 연결하여 음성신호를 받을 것입니다. 영상과 음성의 싱크가 안맞는 문제를 해결하기 위해 OBS에서 녹화를 하나 하겠습니다. 박수를 치는 영상을 녹화합니다. 영상에는 손이 나와야합니다. 녹화된 영상을 영상편집 프로그램으로 불러옵니다. 음성에서 박수소리가 시작되는 부분과 영상에서 손이 붙는 부분이 몇 frame 차이나는지 확인합니다. 아래 경우는 7 frame이 차이납니다. 영상이 음성보다 7frame 만큼 느린 것입니다.. 2021. 1. 24.

소수(prime number)의 개수는 무한할까? 여기서 말하는 소수는 0.1, 0.12 등의 소수가 아니라 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 1보다 큰 자연수입니다. 2,3,5,7 등이 있습니다. 예를 들어 6은 1뿐만 아니라 2와 3을 약수로 갖기 때문에 소수가 아닙니다. 1보다 큰 수 중에서 소수가 아닌 수는 '합성수'라고 부릅니다. 1은 소수도 아니고 합성수도 아닙니다. 소수들을 합성해서 만들었다 뭐 그런 뜻인 것 같습니다. 합성수를 소수들의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해라고 합니다. 소수는 마치 자연수의 '기본입자'같은 역할입니다. 소수는 더 이상 쪼개지지 않습니다. 모든 합성수는 소인수분해가 가능할까요? 먼저 이 문장을 증명합시다. 소인수분해가 불가능한 작은 합성수를 n이라고 합시다. 소수가 아니므로 1과 자기자신 이외의 약수를 갖습니다. 이.. 2021. 1. 23.

두 유리수 사이에는 무리수가 항상 있을까? 서로 다른 두 유리수 사이에 반드시 유리수가 존재한다는 것은 a+b/2 가 유리수이므로 쉽게 보일 수 있습니다. 문득 궁금해졌습니다. 서로 다른 두 유리수 사이에 항상 무리수가 존재할까요? 서로 다른 두 유리수를 a,b라고 합시다. b가 a보다 크다고 놓겠습니다. a 2021. 1. 22.

로마 숫자 죽을때 까지 기억하는 법 로마숫자는 고대 로마에서 쓰던 수입니다. 아라비아 숫자에 밀려서 현재는 일상에서 사용하지 않지만 시계나 목차등에는 여전히 사용됩니다. 로마숫자는 손가락을 본 떠서 만들었습니다. 1,2,3,4까지는 손가락을 하나씩 펴면서 만들어집니다. I II III IIII 5는 조금 특별합니다. 손가락을 다 펴보면 V모양이 됩니다. 따라서 5는 V로 나타내기로 하였습니다. I II III IIII V 6,7,8,9는 5에서 오른쪽에 1,2,3,4를 추가하여 만들어집니다. 오른쪽은 5에서 더 큰쪽으로 나아간다는 의미입니다. VI VII VIII VIIII 10은 5를 나타내는 V 두 개를 위 아래로 붙여서 X로 나타냅니다. 1~10까지의 로마 숫자가 완성됐습니다. I II III IIII V VI VII VIII VII.. 2021. 1. 21.

수학에서 닫혀있다가 뭔가요? (수의 사칙연산과 닫혀있다) 일상적으로 '닫혀있다'라는 말을 들으면, 아래 사진과 같은 경우를 상상합니다. 이 사진처럼 방의 모든 문이 닫혀있다면, 방에서 무슨일이 벌어져도 그 결과가 방 안에 있을 겁니다. 수학적으로 닫혀있다는 의미도 이와 유사합니다. 수학에서 닫혀있다는 것은 집합이 연산에 대해 닫혀있다는 것을 의미합니다. 어떤 집합의 원소들 사이의 연산결과가 여전히 이 집합의 원소일 때 닫혀있다고 말합니다. '닫혀있다'의 예시를 살펴봅시다. 우리가 알고 있는 수는 자연수,정수,유리수,무리수,실수,복소수라는 6개의 수이고, 대표적인 연산인 사칙연산은 4개입니다. 따라서 닫혀있다를 확인해야하는 경우의 수는 24가지 입니다. 표로 만들어봅시다. + - X / 자연수 O X O X 정수 O O O X 유리수 O O O O 무리수 X X.. 2021. 1. 18.

유리수 세는 법 다른 글에서 수학에서의 '셀 수 있다' 와 우리가 일반적으로 알고 있는 '셀 수 있다'가 다르다는 것을 다뤘습니다. 수학에서 '셀 수 있다'는 것은 번호를 붙여서 셀 수 있다는 것을 의미했습니다. 자연수집합의 원소의 개수는 무한하지만 자연수는 '하나' '둘' '셋' 과 같이 모든 원소에 번호를 붙이는 것이 가능하기 때문에 셀 수 있는 것입니다. 유리수도 셀 수 있는데요. 유리수를 셀 수 있다는 것은 잘 와닿지 않을 것입니다. 유리수와 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 존재하기 때문입니다. 유리수는 자연수처럼 크기 순서대로 셀 수는 없습니다. 예를들어 유리수 1부터 세기 시작한다면, 1 다음의 유리수를 정할 수 없기 때문입니다. 1.1일까요. 그럼 1.01은요. 1.001은요? 따라서 유리수에 전부 번호.. 2021. 1. 15.

0.999...=1 의 나름 엄밀한 증명 (2편) 0.999...=1 을 증명하고 있습니다. 이번 글은 2편입니다. 1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성 2) 유리수의 조밀함 3) 유리수의 빈틈 4) 실수의 완비성 5) 엡실론 델타법 조밀함은 영어 dense를 번역한 것입니다. 수학에서 조밀하다는 것은 우리가 흔히 사용하는 조밀하다와 다릅니다. 여기 고양이 사진이 있습니다. 누군가 "고양이 털은 조밀해?" 라고 물어본다면 아마 그렇다고 대답할 것입니다. 일상적으로는 틀린 말이 아닙니다. 이정도면 조밀한거죠. 하지만 수학에서의 조밀함을 적용하면 이야기가 달라집니다. 고양이 털이 수학적으로 조밀하려면, 임의의 두 털 A와 B를 잡았을 때 두 털 사이에 또 다른 털이 C가 있어야 합니다. 그 또다른 털 C와 A 사이에도 또다른 털이 있어야 하고 이런 상태.. 2021. 1. 15.

0.999...=1 의 나름 자세한 증명 (1편) 지난 글에서는 0.999...=1의 다양한 증명방법을 알아보았는데요. 엄밀한 방법들은 아닙니다. 앞으로 나름 엄밀하게 증명해보도록 하겠습니다. 아무나 이해할 수 있도록 생소할 수 있는 전공용어들은 최대한 사용하지 않을 것이며, 어쩔 수 없이 등장하는 용어의 정의는 최대한 쉽게 설명할 것입니다. 수학을 전공하신 분들이 보기엔 어이가 없을 수도 있는데, 비전공자 일반인을 타겟으로 쓴 글입니다. 내용이 길어서 다섯개의 글로 나눠서 설명하겠습니다. 1) 등식 유도부터 다시, 증명의 방향성 2) 유리수의 조밀함(2005년 임용고시 기출) 3) 유리수의 빈틈 4) 실수의 완비성 5) 엡실론 델타법 등식 유도부터 다시 지난 글의 4번째 방법에서 엄밀하지 않은 부분을 먼저 알아봅시다. $$0.9_{(n)}+\frac{.. 2021. 1. 15.

0.999...=1 다양한 증명 0.999...=1 의 다양한 증명 방법을 알아보도록 하겠습니다. 0.999... 는 1에 가까워지는 수가 아닌 1입니다. 1) 대수적 방법 0.999...를 x라고 놓겠습니다. $$x=0.9999....$$ x에 10을 곱합니다. $$10x=9.999...$$ 이 식에서 원래 식을 뺍니다. $$9x=9$$ 양변을 9로 나눠줍니다. $$x=1$$ 따라서 아래 등식이 성립합니다. $$0.999...=1$$ 2) 무한소수들의 합 이용1 $\frac{1}{3}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다. $$\frac{1}{3}=0.333...$$ 양변에 3을 곱합시다. $$1=0.999...$$ 3) 무한소수들의 합 이용2 $\frac{1}{11}$을 무한소수로 표현하면 아래와 같습니다. $$\frac{1}{1.. 2021. 1. 15.

무리수+유리수는 무엇일까? 한 중학생분께서 댓글로 질문을 주셨습니다. "무리수 더하기 유리수는 무리수인가요?" 라는 질문이었습니다. 중학생이 수학에 이렇게 진지할 수 있다는데 놀랐고 답변을 영상을 찍기로 했습니다. 중학생이 이해할 수 있는 수준으로 설명하겠습니다. 먼저 무리수와 유리수의 합이 실수인지 부터 확인해봅시다. 직관적으로 이해가 가능합니다. 실수는 수직선을 빼곡히 매우고 있는 모든 점들이라고 말할 수도 있습니다. 따라서 어떤 유리수는 원점에서 이 유리수의 크기만큼 이동한 위치에 있는 점입니다. 이 유리수에 다른 무리수를 더한다는 것은, 이 점에서 다른 무리수의 크기 만큼 이동한다는 것을 의미합니다. 이동 후에도 여전히 수직선 위의 점이므로 결과는 '실수'라고 할 수 있습니다. 무리수+유리수=실수 실수는 무리수와 유리수로 .. 2021. 1. 13.

"무한집합은 셀 수 없다"는 거짓이다. 오늘은 쉽게 빠질 수 있는 한가지 오개념에 대해 이야기해보려고 합니다. "무한집합은 셀 수 없다." 라고 잘못 알고계신 분들을 위한 글입니다. 설명을 시작하겠습니다. 흔히 하는 오해는 유한집합과 무한집합을 나누는 기준이 셀수 있고 없고에 달려 있다는 것입니다. 이는 '셀 수 있다'는 말을 오해해서 발생한 것입니다. 마치 끝까지 셀 수 있어야 유한이고, 끝까지 셀 수 없으면 무한인 것처럼 착각하게 만듭니다. 오해를 풀어봅시다. 셀 수 있다는 것은 영어로 countable 입니다. 오해가 없도록 설명하면 아래와 같습니다. '번호를 붙일 수 있는' 번호를 붙일 수 있으면 셀 수 있는겁니다. 예를 들어 자연수의 집합은 그 끝을 알 수 없을 정도로 무한히 많지만, 번호를 붙일 수 있습니다. 하나,둘,셋, ..이렇.. 2021. 1. 11.

[모듈식 수학 (하)] 2. 함수와 그래프 (23) 역함수의 성질 (함수 2개 이상) [수학(하)]-[2.함수와 그래프]-[②합성함수와 역함수]-[(23) 역함수의 성질 (함수 2개)] 역함수의 성질 (함수2개 이상) 역함수는 아래와 같은 4가지 성질을 같습니다. 1) 역함수의 역함수는 자기 자신이다. 2) 어떤 함수와 그 함수의 역함수를 합성하면 항등함수가 된다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 4) 여러 함수를 합성한 뒤 역함수를 구한 결과는, 각 함수의 역함수를 반대 순서로 합성한 것과 같다. 이번 글에서는 3,4번을 증명해봅시다. 3번은 두개의 함수, 4번은 두개 이상의 함수를 다루는 경우입니다. 3) 두 함수를 합성한 결과가 항등함수라면, 두 함수는 서로 역함수 관계이다. 이 명제의 역도 성립한다. 수식으로.. 2021. 1. 5.

수능수학 가형,나형 겹치는 문제는 몇개? 수능수학은 가형과 나형으로 나뉩니다. 이과가 가형, 문과가 나형입니다 . 두 유형에서 겹치는 문제가 있는지 알아보았습니다. 겹치는 문제는 아래와 같습니다. 2018 수능을 기준으로 하였습니다. 괄호 안은 출제단원입니다. 가형 4번 - 나형 10번 (확률의 독립) 가형 6번 - 나형 12번 (이항정리) 가형 10번 - 나형 15번 (표준정규분포) 가형 22번 - 나형 22번 (조합) 2021. 1. 2.

수능수학 2,3,4점 몇 문제씩 있나? 수능 수학은 2,3,4점 문제로 구성되어 있습니다. 각 몇문제씩 있는지 알아보았습니다. 3문제 = 6점 3점 14문제 = 42점 4점 13문제 = 52점 2021. 1. 2.

수능수학 짝수형 홀수형 차이 오늘은 수능 수학의 짝수형과 홀수형이 어떤 차이가 있는지를 알아보겠습니다. 2018년 수능문제를 기준으로 했습니다. 결론만 말씀드리면, 7,12,14,18번 네문제의 보기 순서가 서로 반대였습니다. 보기 순서를 반대로 한 이유는 컨닝 방지겠죠? 자세한 내용은 영상을 참고하세요. 2021. 1. 2.

한 문제당 10억! (밀레니엄 문제) 풀면 한 문제당 10억을 주는 밀레니엄문제를 소개하려고합니다. 구글에 밀레니엄문제를 검색하고 위키백과를 들어가면 밀레니엄문제에 대한 설명이 있습니다. 하버드 대학교 수학과 출신들이 만든 '클레이 수학 연구소'에서 21세기에 가장 크게 공헌할 수 있는데 아직 풀리지는 않은 7가지 문제를 선정했습니다. 그리고 이 문제들에 상금을 걸었습니다. 상금은 백만달러였습니다. 풀면 백만장자가 될 수 있는 상금이죠. 2000년에 건 상금인데, 2020년인 오늘 10억은 서울에 집 한채 겨우 사는 돈이네요. 한 사람이 여러 문제를 풀어도 됩니다. 7문제를 다 풀면 7백만달러를 받게 됩니다. 7가지 문제는 아래와 같습니다. 1. P-NP 문제 2. 호지 추측 3. 푸앵카레 추측 4. 리만 가설 5. 양-밀스 질량 간극 가설.. 2021. 1. 2.

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