[5분 고등수학] 점과 직선 사이의 거리

 

 

좌표평면위의 한 점과 한 직선 사이의 거리를 구해보려고 합니다. 

 

한 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 한 직선은 $ax+by+c=0$이라고 놓겠습니다. 

 

 

점과 직선을 연결한 선은 무수히 많습니다. 그 중에서 가장 짧은 거리의 선을 '점과 직선 사이의 거리'로 정의합시다. 

 

점에서 직선까지 가장 짧은 거리의 선을 그엇을 때 만나는 점의 좌표를 $(x',y')$ 이라고 합시다. 90도가 되도록 그은 선이 가장 짧습니다. 

 

두 점사이의 거리가 점과 직선사이의 거리입니다. 

 

두 점 사이의 거리는 아래와 같습니다. 이 거리가 점과 직선 사이의 거리입니다. 0번식이라고 놓겠습니다. 

 

$d=\sqrt{ (x_{1}-x')^{2}+ (y_{1}-y')^{2}  }$   ....(0)

 

$x_{1}$과 $y_{1}$은 알고 있는 값이고, $x'$과 $y'$ 은 모르는 값입니다. $x'$과 $y'$ 를 알고 있는 변수로 바꿔야 합니다. 

 

위 그림에서 몇가지 수식을 도출해봅시다. 

 

먼저 $(x',y')$은 직선 $ax+by+c=0$ 위의 점이므로 아래 등식이 성립합니다. 1번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$ax'+by'+c=0$ .....(1)

 

위 그림의 두 직선은 서로 수직이므로 두 직선의 기울기를 곱하면 -1입니다. 

 

$\frac{y_{1}-y'}{x_{1}-x'} \times -\frac{a}{b}=-1 $  

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$a(y_{1}-y')=b(x_{1}-x')$  

 

전개합시다. 

 

$ay_{1}-ay'-bx_{1}+bx'=0$

아래와 같이 변형합시다. 2번식이라고 놓겠습니다. 

 

$bx'-ay'-bx_{1}+ay_{1}=0$ .....(2)

 

1번식과 2번식을 이용하여 x'을 소거해봅시다. 1번식의 모든 항에 b를 곱하고, 2번식의 모든 항에 a를 곱하면 아래와 같습니다.

 

$abx'+b^{2}y'+bc=0$

 

$abx'-a^{2} y'-abx_{1}+a^{2}y_{1}=0$

 

위 식에서 아래 식을 뺍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})y'+abx_{1}-a^{2}y_{1}+bc=0$

 

아래와 같이 이항합시다. 

 

$(a^{2}+b^{2})y'-a^{2}y_{1}=-bc-abx_{1}$

 

양변에 $-b^{2}y_{1}$을 더해줍시다. 

 

$(a^{2}+b^{2})y'-a^{2}y_{1}-b^{2}y_{1}=-bc-abx_{1}-b^{2}y_{1}$

 

좌변을 아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})y'-(a^{2}+b^{2})y_{1}=-bc-abx_{1}-b^{2}y_{1}$

 

좌변을 한번 더 묶어줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})(y'-y_{1})=-bc-abx_{1}-b^{2}y_{1}$

 

우변을 아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})(y'-y_{1})=-b(c+ax_{1}+by_{1})$ 

 

아래와 같이 변형합시다. 아래 식을 3번 식이라고 놓읍시다. 

 

$ (y'-y_{1})=-\frac{b(c+ax_{1}+by_{1})}{a^{2}+b^{2}}$ ......(3)

 

이번에는 1번식과 2번식을 이용하여 y'을 소거해봅시다. 1번식의 모든 항에 a를 곱하고, 2번식의 모든 항에 b를 곱하면 아래와 같습니다.

 

$a^{2}x'+aby'+ac=0$

 

$b^{2}x'-aby'-b^{2}x_{1}+aby_{1}=0$ 

 

두 식을 더해줍니다. 

 

$a^{2}x'+ac+b^{2}x'-b^{2}x_{1}+aby_{1}=0$ 

 

아래와 같이 이항합니다. 

 

$a^{2}x'+b^{2}x'-b^{2}x_{1}=-ac-aby_{1}$

 

좌변을 아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})x'-b^{2}x_{1}=-ac-aby_{1}$

 

양변에 $-a^{2}x_{1}$ 을 더해줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})x'-b^{2}x_{1}-a^{2}x_{1}=-ac-aby_{1}-a^{2}x_{1}$

 

좌변을 아래와 같이  묶어줍시다. 

 

$(a^{2}+b^{2})x'-(b^{2}+a^{2})x_{1}=-ac-aby_{1}-a^{2}x_{1}$

 

좌변을 한번 더 묶어줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})x'-(b^{2}+a^{2})x_{1}=-ac-aby_{1}-a^{2}x_{1}$

 

$(a^{2}+b^{2})(x'-x_{1})=-ac-aby_{1}-a^{2}x_{1}$

 

우변도 아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$(a^{2}+b^{2})(x'-x_{1})=-a(c+by_{1}+ax_{1})$

 

아래와 같이 변형합시다. 아래 식을 4번 식이라고 놓읍시다. 

 

$x'-x_{1}=-\frac{a(c+by_{1}+ax_{1})}{a^{2}+b^{2}}$   ......(4)

 

위에서 구한 0번식을 다시 가져옵시다. 

 

$d=\sqrt{ (x_{1}-x')^{2}+ (y_{1}-y')^{2}  }$

 

0번 식에 3,4번 식을 대입합시다. 

 

$d=\sqrt
{
\frac{b^{2}(c+ax_{1}+by_{1})^{2} }
{ (a^{2}+b^{2})^{2} }
+
\frac{a^{2}(c+ax_{1}+by_{1})^{2} }
{ (a^{2}+b^{2})^{2} }
}$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$d=\sqrt
{
\frac{(a^{2}+b^{2})(c+ax_{1}+by_{1})^{2} }
{ (a^{2}+b^{2})^{2} }
\
}$

아래와 같이 약분합시다. 

 

$d=\sqrt
{
\frac{(c+ax_{1}+by_{1})^{2} }
{ (a^{2}+b^{2})\ }
\
}$

분자는 절댓값으로 바꿀 수 있습니다. 따라서 점 $(x_{1},y_{1})$ 와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 아래와 같습니다. 

 

$d=
\frac{
\left | ax_{1}+by_{1}+c \right |
}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

 

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다른 유도 방법

 

좌표평면위의 한 점과 한 직선 사이의 거리를 구해보려고 합니다.

 

한 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 한 직선은 $ax+by+c=0$이라고 놓겠습니다. 

 

 

점과 직선을 연결한 선은 무수히 많습니다. 그 중에서 가장 짧은 거리의 선을 '점과 직선 사이의 거리'로 정의합시다. 

 

점에서 직선까지 가장 짧은 거리의 선을 그엇을 때 만나는 점의 좌표를 $(x',y')$ 이라고 합시다. 90도가 되도록 그은 선이 가장 짧습니다. 

 

두 점사이의 거리가 점과 직선사이의 거리입니다. 

 

두 점 사이의 거리는 아래와 같습니다. 이 거리가 점과 직선 사이의 거리입니다. 0번식이라고 놓겠습니다. 

 

$d=\sqrt{ (x_{1}-x')^{2}+ (y_{1}-y')^{2}  }$   ....(0)

 

$x_{1}$과 $y_{1}$은 알고 있는 값이고, $x'$과 $y'$ 은 모르는 값입니다. $x'$과 $y'$ 를 알고 있는 변수로 바꿔야 합니다. 

 

위 그림에서 몇가지 수식을 도출해봅시다. 

 

먼저 $(x',y')$은 직선 $ax+by+c=0$ 위의 점이므로 아래 등식이 성립합니다. 1번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$ax'+by'+c=0$ .....(1)

 

위 그림의 두 직선은 서로 수직이므로 두 직선의 기울기를 곱하면 -1입니다. 

 

$\frac{y_{1}-y'}{x_{1}-x'} \times -\frac{a}{b}=-1 $  

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\frac{ y_{1}-y' }{b}=\frac{ x_{1}-x' }{a}$

이 값을 k라고 둡시다. 

 

$\frac{ y_{1}-y' }{b}=\frac{ x_{1}-x' }{a}=k$

 

아래와 같이 두 식을 얻을 수 있습니다. 

 

$\frac{ x_{1}-x' }{a}=k$

$\frac{ y_{1}-y' }{b}=k$

 

아래와 같이 변형합시다. 3,4번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$x_{1}-x' =ak$   .....(3)

$ y_{1}-y'=bk$   .....(4)

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$x' =x_{1}-ak$

$y'= y_{1}-bk$

 

위 등식을 1번식에 대입하면 아래와 같습니다. 

 

$a(x_{1}-ak)+b(y_{1}-bk)+c=0$

전개하면 아래와 같습니다. 

 

$ax_{1}-a^{2}k+by_{1}-b^{2}k+c=0$

 

아래와 같이 이항합시다. 

 

$ax_{1}+by_{1}+c=a^{2}k+b^{2}k$

 

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$ax_{1}+by_{1}+c=(a^{2}+b^{2})k$

 

k는 아래와 같습니다. 5번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$k=\frac{ ax_{1}+by_{1}+c }{ a^{2}+b^{2} }$  ......(5)

 

k는 구했고, 이번에는 0번식에 3,4번 식을 대입합시다. 

 

$d=\sqrt{ (ak)^{2}+ (bk)^{2}  }$

 

아래와 같이 묶어줍시다. 

 

$d=\sqrt{ (a^{2}+b^{2})k^{2}  }$

 

5번 식을 위 식에 대입합시다. 

 

$d=\sqrt{ \frac{ (ax_{1}+by_{1}+c)^{2} }{  (a^{2}+b^{2} ) }  }$

 

분자는 절댓값으로 바꿀 수 있습니다. 따라서 점 $(x_{1},y_{1})$ 와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 아래와 같습니다.

 

$d=
\frac{
\left | ax_{1}+by_{1}+c \right |
}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$