[5분 고등수학] 배수집합의 교집합과 합집합

 

 

배수집합은 어떤 자연수의 배수로 만든 집합입니다. 어떤 자연수를 k라고 했을 때, 이 자연수의 배수집합은 기호로 아래와 같이 나타냅니다. 

 

$A_{k}$

 

예를 들어 2의 배수의 집합은 아래와 같습니다. 

 

$A_{2}=\left \{ 2,4,6,8,... \right \}$

 

교집합

배수집합의 교집합에 대해 알아봅시다. 두 자연수 m과 n의 배수집합은 아래와 같습니다. 

 

$A_{m}=\left \{ m,2m,3m,4m,... \right \}$

 

$A_{n}=\left \{ n,2n,3n,4n,... \right \}$

 

두 수의 최소공배수를 $r$ 이라고 한다면, 두 집합의 교집합은 아래와 같습니다. 

 

$A_{m}\cap A_{n}=A_{r}$

 

두 수의 공배수의 집합은 두 수의 최소공배수의 배수의 집합과 같기 때문입니다. 

 

예를 들어봅시다. 자연수 3과 4의 배수 집합은 아래와 같습니다. 

 

$A_{3}=\left \{ 3,6,9,12,15,... \right \}$

 

$A_{4}=\left \{ 4,8,12,16,20,... \right \}$

 

교집합은 아래와 같습니다. 

 

$A_{3}\cap A_{4}=\left \{ 12,24,36,48,... \right \}$

 

12의 배수의 집합입니다. 

 

$A_{3}\cap A_{4}=A_{12}$

 

 

합집합

두 자연수의 배수집합의 합집합은 특수한 경우를 제외하면 하나의 자연수의 배수집합으로 나타낼 수 없습니다. 예를 들어봅시다. 자연수 3과 4의 배수 집합은 아래와 같습니다.

 

$A_{3}=\left \{ 3,6,9,12,15,... \right \}$

 

$A_{4}=\left \{ 4,8,12,16,20,... \right \}$

 

두 집합의 합집합은 아래와 같습니다. 

 

$A_{3}\cup A_{4}=\left \{ 3,4,6,8,9,12,15,16,... \right \}$

 

자연수의 배수집합으로 나타낼 수 없습니다. 

 

위에서 언급한 특수한 경우는 아래와 같습니다. 

 

$A_{2}=\left \{ 2,4,5,8,10,... \right \}$

 

$A_{4}=\left \{ 4,8,12,16,20,... \right \}$

 

한 수가 다른 수의 배수인 경우입니다. 위 경우 합집합은 둘 중 작은 수의 집합이 됩니다. 

 

$A_{2} \cup A_{4}=A_{2}$