[5분 고등수학] 등비수열의 합

 

 

등비수열은 '비(ratio)'가 일정한 수열입니다. 일정한 비를 공비라고 부릅니다. 첫째항을 a, 공비를 r이라고 놓았을 때 수열은 아래와 같습니다.

 

$a_{1}=a$

$a_{2}=ar$

$a_{3}=ar^{2}$

$a_{4}=ar^{3}$

...

$a_{n}=ar^{n-1}$

 

이때 $a_{n}$을 일반항이라고 부릅니다. 

 

등비수열의 합을 구해봅시다. 등비수열의 합은 $S_{n}$ 이라고 나타냅니다. 수열의 첫째항 부터 n번째 항까지의 합을 의미합니다. 

 

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+ \cdots +a_{n}$

 

첫항이 a이고 공비가 r인 등차수열의 합은 아래와 같습니다. 

 

$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r \right )^{n}}{1-r}$

 

이 공식을 유도해봅시다. 첫항부터 n번째 항까지의 합을 오름차순으로 한번 쓰고, 양변에 r을 곱해서 한번 더 써봅시다. 

 

$S_{n}=a+ar+ar^{2}+\cdots + +ar^{n-2}++ar^{n-1}$

 

$rS_{n}=\ \ ar+ar^{2}+\cdots + +ar^{n-1}++ar^{n}$

 

위 식에서 아래 식을 뺴줍니다. 

 

$(1-r)S_{n}=a-ar^{n}$

 

우변을 a로 묶어줍시다. 

 

$(1-r)S_{n}=a\left ( 1-r^{n} \right )$

 

양변을 (1-r)로 나눠주면 됩니다. 

 

$S_{n}=\frac{a\left ( 1-r^{n} \right )}{1-r}$

 

위 공식은 매번 유도할 수 없으니 외워서 사용해야 합니다.