[5분 고등수학] 산술,기하,조화평균 대소비교 증명

 

 

산술, 기하, 조화평균의 대소관계는 아래와 같습니다. 

 

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$

 

대소비교가 성립하는 조건은 a,b 가 양수라는 것입니다. 이유는 증명과정에서 나옵니다. 

 

산술평균과 기하평균의 대소관계

먼저 산술평균과 기하평균의 대소관계를 증명해봅시다. 

 

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

 

양변에 2를 곱합시다. 

 

$a+b \geq 2\sqrt{ab}$

 

양변을 제곱합시다. 제곱 후에도 부등호가 유지되려면 양변이 양수라는 조건이 필요합니다. 양변이 양수려면 a,b가 양수여야 합니다. a 또는 b가 0일 때도 성립을 하므로, 0보다 같거나 크면 됩니다. 

 

$(a+b)^{2} \geq 4ab$

 

전개합시다. 

 

$a^{2}+2ab+b^{2} \geq 4ab$

 

좌변으로 옮겨줍니다. 

 

$a^{2}-2ab+b^{2} \geq 0$

 

좌변을 완전제곱식으로 만들 수 있습니다. 

 

$(a-b)^{2} \geq 0$

 

좌변은 항상 0보다 같거나 크므로 위 부등식이 성립합니다.

 

 

기하평균과 조화평균의 대소관계

$\sqrt{ab}\geq \frac{2ab}{a+b}$

 

양변을 제곱합시다. 제곱 후에도 부등호가 유지되려면 a,b가 양수여야합니다. a또는 b가 0일 때도 성립하는데 둘다 동시에 0이면 분모가 0이 되므로 안됩니다. 

 

$ab \geq \frac{4a^{2}b^{2}}{(a+b)^{2}}$

 

아래와 같이 계산해줍니다. 

 

$(a+b)^{2} \geq 4ab$

 

전개합시다. 

 

$a^{2}+2ab+b^{2}\geq 4ab$

 

좌변으로 이항하여 계산합시다. 

 

$a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0$

 

완전제곱식으로 만듭시다. 

 

$(a-b)^{2} \geq 0$

 

좌변은 항상 0보다 같거나 크므로 위 부등식이 성립합니다. 

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따라서 a,b가 양수인 경우 아래 부등식이 성립합니다. 

 

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$