[5분 고등수학] 산술,기하,조화평균은 어디에 쓸까?

 

 

평균에는 세가지 종류가 있습니다. 산술, 기하, 조화평균입니다. 각 평균의 정의는 아래와 같습니다. 두 수 a와 b의 평균입니다. 

 

산술평균 : $\frac{a+b}{2}$

 

기하평균 : $\sqrt{ab}$

 

조화평균 : $\frac{2ab}{a+b}$

세 평균의 대소관계는 아래와 같습니다.

 

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$

 

대소관계 증명은 다음 글에서 하겠습니다. 이번 글에서는 각 평균이 어디에 사용되는지 알아봅시다. 

 

 

산술평균

우리가 흔히 '평균'이라고 부르는 평균이 산술평균입니다. 대표적으로는 시험점수를 구할 때 사용합니다. 수학시험점수가 90점이고, 영어시험점수가 100점이면 두 과목의 산술평균은 아래와 같이 계산합니다. 

 

$\frac{90+100}{2}=95$

 

 

기하평균

기하평균은 늘어난 배수의 평균을 구할 때 사용합니다. 연봉이 2년 전에는 a원이고, 작년에는 두배 올라서 2a원이고, 올해는 다시 세배가 올래서 6a원이라고 합시다. 

 

$a \rightarrow  2a \rightarrow  6a$

 

연봉은 매년 평균 '몇 배' 씩 오른 것인지 구할 때 기하평균을 사용합니다. 만약 산술평균을 이용하여 구한다면 $\frac{2+3}{2}=2.5$ 인데 a에 2.5를 두번 곱하면 6.25배가 되서 결과가 다릅니다. 

 

$a \times 2 \times 3 \neq a \times 2.5 \times 2.5$

 

매년 평균 k배씩 올랐다고 한다면 아래와 같은 등식을 세울 수 있습니다. 

 

$a \times 2 \times 3 = a \times k \times k$

 

k는 아래와 같이 구합니다. 

 

$k=\sqrt{2 \times 3}=\sqrt{6}$

 

이때 k가 기하평균입니다. 

 

 

조화평균

조화평균은 역수의 산술평균을 구하고 다시 역수를 취한 것입니다. 

 

$\frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}=\frac{2ab}{a+b}$

 

이러한 평균이 사용되는 상황을 알아봅시다. 우리가 아래 그림의 산을 오른다고 합시다. 올라갈 때와 내려갈 때의 거리는 $l$로 동일하다고 합시다. 올라갈 때의 속력은 a, 내려갈 때의 속력은 b입니다. 이때 평균속력이 조화평균입니다. 한번 직접 구하며 확인해봅시다. 

속력은 거리/시간 입니다. 평균속력은 전체거리/전체시간입니다. 전체 거리는 $2l$ 입니다. 전체 시간은 어떻게 구할까요? 시간은 거리/속력 이므로 올라갈 때 걸린 시간은 $\frac{l}{a}$ 이고 내려갈 때 걸린 시간은 $\frac{l}{b}$ 입니다. 따라서 평균속력은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

평균속력 = $\frac{2l}{\frac{l}{a}+\frac{l}{b}}$

 

$l$ 을 약분해봅시다. 

 

평균속력 = $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

평균속력 = $\frac{2ab}{a+b}$