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고등수학 5분증명(2009개정)/수학1

[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (3) 원 밖의 한 점을 알 때

by bigpicture 2021. 8. 7.
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원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다.

 

1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요

2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요

3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요

 

세 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원이 있다고 합시다. 

 

 

원 밖에 한 점에서는 원에 두개의 접선을 그을 수 있습니다. 

 

 

접선의 기울기를 m으로 놓으면 아래와 같은 직선의 방정식을 세울 수 있습니다. 

 

y=m(xx1)+y1

 

이제 m을 구해야 합니다. 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 이용할 수 있습니다. 위 방정식을 아래와 같이 변형합니다. 

 

mxymx1+y1=0

 

원의 중심인 원점과 직선사이의 거리가 r이라는 것을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

|mx1+y1|m2+1=r

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

|mx1+y1|=rm2+1

 

양변을 제곱합시다. 

 

(mx1+y1)2=r2(m2+1)

 

전개합시다. 

 

m2x122mx1y1+y12=r2m2+r2

 

m에 대해 내림차순 정리합시다. 

 

(x12r2)m22x1y1m+y12r2=0

 

m에 대한 2차식이기 때문에 근을 구하면 두개가 나옵니다. 이 두 근은 위에 그림에 나타낸 두개의 접선의 기울기입니다. 구해서 아래 식에 넣어주면 됩니다. 

 

y=m(xx1)+y1

 

공식으로 굳이 만들 수는 있지만 길고 복잡해서, 차라리 매번 위 원리를 이용해서 두개의 m을 구하는게 낫습니다. 

 

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