[5분 고등수학] 원의 접선의 방정식 (3) 원 밖의 한 점을 알 때

 

 

원의 접선의 방정식을 구하는 문제 유형에는 세가지가 있습니다.

 

1) 기울기 m을 알려줄게 접선을 구해보세요

2) 원 위의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요

3) 원 밖의 한 점을 알려줄게 접선을 구해보세요

 

세 번째 경우를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 중심이 원점이고 반지름이 r인 원이 있다고 합시다. 

 

 

원 밖에 한 점에서는 원에 두개의 접선을 그을 수 있습니다. 

 

 

접선의 기울기를 m으로 놓으면 아래와 같은 직선의 방정식을 세울 수 있습니다. 

 

$y=m(x-x_{1})+y_{1}$

 

이제 m을 구해야 합니다. 원의 중심으로 부터 직선까지의 거리가 r이라는 조건을 이용할 수 있습니다. 위 방정식을 아래와 같이 변형합니다. 

 

$mx-y-mx_{1}+y_{1}=0$

 

원의 중심인 원점과 직선사이의 거리가 r이라는 것을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{\left | -mx_{1}+y_{1} \right |}{\sqrt{m^{2}+1}}=r$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$\left | -mx_{1}+y_{1} \right | = r\sqrt{m^{2}+1}$

 

양변을 제곱합시다. 

 

$\left ( -mx_{1}+y_{1}  \right )^{2}= r^{2}\left ( m^{2}+1 \right )$

 

전개합시다. 

 

$m^{2}x_{1}^{2}-2mx_{1}y_{1}+y_{1}^{2}= r^{2}m^{2}+r^{2}$

 

m에 대해 내림차순 정리합시다. 

 

$(x_{1}^{2}-r^{2})m^{2}-2x_{1}y_{1}m+y_{1}^{2}-r^{2}=0$

 

m에 대한 2차식이기 때문에 근을 구하면 두개가 나옵니다. 이 두 근은 위에 그림에 나타낸 두개의 접선의 기울기입니다. 구해서 아래 식에 넣어주면 됩니다. 

 

$y=m(x-x_{1})+y_{1}$

 

공식으로 굳이 만들 수는 있지만 길고 복잡해서, 차라리 매번 위 원리를 이용해서 두개의 m을 구하는게 낫습니다.