감마함수 유도하기 (Part1)

 

 

오늘은 팩토리얼을 실수영역으로 확장한 감마함수에 대해 배워보도록 합시다. 실수영역으로 확장하려던 시도였는데 복소수영역까지 확장되게 됩니다. 

 

더 정확히 이야기하면 감마함수는 팩토리얼 함수를 실수 영역으로 확장한 것입니다. 팩토리얼 함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$f(n)=(n-1)!$

 

오일러는 n!을 실수 영역으로 확장하기 위해 고민하던 중에 아래 적분을 떠올리게 됩니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx$

 

이 적분은 당시에 왈리스, 뉴튼, 스털링과 같은 수학자들이 가지고 놀고(?) 있었던 적분이라고 합니다. 

 

먼저 이 적분을 변형해서 팩토리얼과 적분이 함께 등장하는 식으로 만들겠습니다. 아래와 같이 부분적분을 적용합시다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=\left [ \frac{1}{e+1}x^{e+1}(1-x)^{n}  \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+1}x^{e+1}n(1-x)^{n-1}(-1)dx  $

 

첫 항을 계산하면 0입니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx=-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+1}x^{e+1}n(1-x)^{n-1}(-1)dx  $

 

우변에서 적분과 무관한 항을 밖으로 꺼내고, 계산해서 간단히 할 수 있는 것들은 계산해줍니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n}{e+1}\int_{0}^{1}x^{e+1}(1-x)^{n-1}dx  $

 

부분적분을 한번 더 적용합시다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n}{e+1}\left \{ 
\left [ \frac{1}{e+2}x^{e+2}(1-x)^{n-1}  \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+2}x^{e+2}(n-1)(1-x)^{n-2}(-1)dx
 \right \}$

 

첫 항을 계산하면 0입니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n}{e+1}\left \{ 
-\int_{0}^{1} \frac{1}{e+2}x^{e+2}(n-1)(1-x)^{n-2}(-1)dx
 \right \}$

 

우변에서 적분과 무관한 항을 밖으로 꺼내고, 계산해서 간단히 할 수 있는 것들은 계산해줍니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)}{(e+1)(e+2)}\left \{ 
\int_{0}^{1}x^{e+2}(1-x)^{n-2}dx
 \right \}$

 

규칙이 있다는 것을 알 수 있습니다. 우변 적분 밖 항 분자의  (n-1)보다 적분항의 지수가 1 작습니다. 우변 적분 밖 항 분모의 (e+2)는 적분 항의 지수와 같습니다. 

 

부분적분을 계속 적용하다 보면 끝이 나옵니다. 끝에서 세번째부터 적어보았습니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 3}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n-2)}\left \{ 
\int_{0}^{1}x^{e+n-2}(x-1)^{2}dx
 \right \}$

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 2}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n-1)}\left \{ 
\int_{0}^{1}x^{e+n-1}(x-1)dx
 \right \}$

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)}\left \{ 
\int_{0}^{1}x^{e+n}dx
 \right \}$

 

적분항을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)}
\left [ \frac{1}{e+n+1}x^{e+n+1} \right ]^{1}_{0}$

 

계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n(n-1)\cdots 1}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$

 

우변의 분자는 $n!$ 입니다.

 

$\int_{0}^{1}x^{e}(1-x)^{n}dx= \frac{n!}{(e+1)(e+2)\cdots (e+n)(e+n+1)}$

 

팩토리얼과 적분을 연결한 식이 유도되었습니다. 오일러는 이 식을 변형하여 감마함수의 적분형을 유도합니다. 

 

다음 글에서 이어가겠습니다.