[5분 고등수학] 모평균 추정의원리

표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표본평균의 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다는 것을 배운 상태입니다. 

수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

$E\left(\overline {X}\right)=m$

$V\left(\overline {X}\right)=\frac{ {\sigma }^2}{n}$

표본의 크기 n이 충분히 큰 경우에 표본평균의 분포가 정규분포를 따른다는 것도 배웠습니다. 

$\overline {X}\sim N\left(m,\frac{ {\sigma }^2}{n}\right)$

위 성질을 이용하면 모평균의 구간을 추정해볼 수 있습니다. 

먼저 표본평균의 분포를 그래프로 그려봅시다. 

위 그래프에서 넓이가 95% 인 구간을 표시하면 아래와 같습니다. 

 

 

95% 신뢰구간은 아래와 같습니다. 

 

$m-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X}\le m+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

위 부등식을 변형하겠습니다. 각 변에서 m을 빼줍니다. 

 

$-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X}-m\le 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

각 변에 -1을 곱해줍니다. 부등호 방향이 바뀝니다. 

 

$1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ge  -\bar{X}+m \ge -1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

갹 변에 $\bar{X}$를 더해줍니다. 

 

$\bar{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ge  m \ge \bar{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

아래와 같이 순서를 바꿔줍니다. 

 

$\bar{X}-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le  m \le \bar{X}+1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

 

95% 신뢰구간이 유도되었습니다. 여기서 주의할 점이 하나 있습니다. 모집단이 위 구간 사이에 들어 있을 확률이 95% 라는 말이 아닙니다. 

 

예시를 통해 이해해봅시다. 

 

모 표준편차가 3이고, 표본의 크기가 36이고, 표본을 뽑아서 평균을 구했더니 5라고 합시다. 이때 95% 신뢰구간은 아래와 같습니다. 

 

$4.02 \le  m \le 5.98$

 

모집단이 이 구간 사이에 있을 확률이 95% 일까요? 모집단은 이 구간 사이에 있거나 없어나 둘 중 하나로 이미 결정되어 있습니다. 확률로 표현할 수 없습니다. 

 

신뢰구간이 95% 라는 말은, 표본을 100번 추출해서 위 구간을 구했을 때 100개 구간 중 95개 구간은 모집단을 포함한다는 말입니다. 

 

99% 신뢰구간은 1.96을 2.58로 바꿔주면 됩니다. 

 

$\bar{X}-2.58\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le  m \le \bar{X}+2.58\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$