[5분 고등수학] 정규분포의 표준화 원리

 

 

정규분포의 표준화는 평균이 m이고 분산이 시그마제곱인 정규분포를 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포로 바꾸는 것을 의미합니다.

 

$N\left(m,{\sigma }^2\right)\ \ \ \to \ \ \ N\left(0,{1}^2\right)$

 

정규분포의 확률변수를 X라고 놓고, x를 어떻게 변형해야 표준정규분포를 따르게 될 지 생각해봅시다. 

 

먼저 X의 평균은 m인데, 평균을 0으로 만들고 싶은 상황이므로 X에서 m을 빼면 됩니다.

 

$E\left(X\right)=m$

 

$E\left(X-m\right)=E\left(X\right)-m=0$

 

따라서 확률변수는 아래와 같이 바꿔주면 됩니다.

 

$X\ \ \ \to \ \ \ X-m$

 

분산을 1로 만들기 위해서 X-m을 시그마로 나눠줍시다.

 

$V\left(X\right)={\sigma }^2$

 

$V\left(X-m\right)={\sigma }^2$

 

$V\left(\frac{X-m}{\sigma }\right)=\frac{V\left(X\right)}{{\sigma }^2}=1$

 

따라서 확률변수는 아래와 같이 바꿔주면 됩니다.

 

$X\ \ \ \to \ \ \ X-m\ \to \ \frac{\ \ X-m}{\sigma }$

 

새롬게 정의된 확률변수는 표준정규분포를 따르게 됩니다. 이 확률변수를 Z라고 놓겠습니다.

 

$\frac{\ \ X-m}{\sigma }=Z\sim N\left(0,{1}^2\right)$

 

이 과정이 정규분포의 표준화입니다.

 

정규분포의 표준화는 어디에 사용하는걸까요? 정규분포의 표준화하는 이유는 "표준정규분포표"를 사용하기 위함입니다. 표준정규분포표는 다양한 a 값에 대해 아래 확률을 구해놓은 표입니다.

 

$P\left(0\le Z\le a\right)$

 

우리가 평균이 m이고 분산이 시그마 제곱인 정규분포에서 확률을 구해야 하는 상황이 생긴다고 합시다.

 

$P\left(b\le X\le a\right)$

 

이때, 표준화를 적용하여 표준정규분포로 바꿉니다.

 

$P\left(\frac{b-m}{\sigma }\le Z\le \frac{a-m}{\sigma }\right)$

 

표준정규분포표를 이용하여 위 확률을 구하면 됩니다.

 

정규분포의 표준화는, 평균이 m이고 분산이 시그마 제곱인 정규분포를 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포에 '대응'을 시킨 것입니다. 이렇게 대응을 시켰을 때 그 넓이가 동일하다는 성질을 만족합니다. 이 원리가 성립하기 때문에 표준정규분포표를 이용할 수 있습니다.