[5분 고등수학] 타원의 방정식 유도 (1) x축 위에 두 초점이 있는 경우

 

 

타원의 정의는 아래와 같습니다.

 

"두 정점으로 부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합"

 

좌표 평면에서 예를 들어보겠습니다. 두 정점을 F와 F'이라고 합시다. 두 점으로 부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합은 아래와 같습니다.

 

 

고등학교 과정에서는 정점을 아무 위치에나 찍지 않고, x축에 평행한 직선 위 또는 y축에 평행한 직선 위에 찍습니다.

 

1. 두 정점이 x축 위에 있는 경우

두 정점을 x축 위에, 원점 대칭으로 찍겠습니다. 정점 F의 좌표는 (c,0)이고, F'의 좌표는 (-c,0)입니다.

 

 

이 정점들로 부터 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 타원을 그리겠습니다. 이 타원이 x축과 만나는 점을 (a,0)과 (-a,0)이라고 합시다. y축과 만나는 점을 (0,b)와 (0,-b)라고 놓겠습니다. 이 네개의 점을 타원의 '꼭지점'이라고 합니다.

 

 

타원의 정의에 의해 점 (a,0)에서도 두 정점으로 부터의 거리의 합이 일정합니다. 그 값을 a로 표현해봅시다.

 

먼저 정점 F로 부터 (a,0)에 이르는 거리는 (a-c)입니다. 정점 F'으로 부터 (a,0)에 이르는 거리는 (a+c)입니다. 둘을 더하면 2a가 됩니다.

 

이번에는 a,b,c의 관계를 알아봅시다. 두 정점에서 (0,b)에 선을 그어봅시다.

 

 

위에 그은 빨간 두 선의 길이의 합도 2a가 됩니다. 수식을 세우면 아래와 같습니다. 피타고라스 정리를 사용합니다.

 

$2\sqrt{{c}^2+{b}^2}=2a$

 

양변을 제곱하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

${c}^2+{b}^2={a}^2$

 

위 식을 통해 a가 항상 b보다 크다는 것을 알 수 있습니다. 이제 용어 몇가지를 정의해봅시다.

 

처음에 찍은 두 정점 F와 F'을 '초점'이라고 부릅니다. 타원의 두 축을 그을 수 있는데요. 한 축의 길이는 2a이고, 다른 한 축의 길이는 2b입니다. a가 b보다 항상 크기 때문에 길이가 2a인 축을 를 장축, 2b인 축을 단축이라고 부릅니다.

 

이제 타원의 방정식을 유도해봅시다. 타원 위 임의의 점을 P(x,y)라고 놓읍시다. 타원의 정의를 이용하면 아래와 같은 등식을 만들 수 있습니다. 두 초점에서 P까지 이르는 거리의 합이 2a라는 등식입니다.

 

$\sqrt{{\left({x-c}\right)}^2+{y}^2}+\sqrt{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}=2a$​

 

아래와 같이 이항합시다.

 

$\sqrt{{\left({x-c}\right)}^2+{y}^2}=2a-\sqrt{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}$​

 

양변을 제곱합시다.

 

${\left({x-c}\right)}^2+{y}^2=4{a}^2-4a\sqrt{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}+{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2$​

 

전개합시다.

 

${x}^2-2cx+{c}^2+{y}^2=4{a}^2-4a\sqrt{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}+{x}^2+2cx+{c}^2+{y}^2$​

 

정리합시다.

 

$-4cx-4{a}^2=-4a\sqrt{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}$​

 

양변을 -4로 나눕시다.

 

$cx+{a}^2=a\sqrt{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}$

 

다시 양변을 제곱합시다.

 

${c}^2{x}^2+2{a}^2cx+{a}^4={a}^2\left\{{{\left({x+c}\right)}^2+{y}^2}\right\}$

 

전개합시다.

 

${c}^2{x}^2+2{a}^2cx+{a}^4={a}^2{x}^2+2{a}^2cx+{a}^2{c}^2+{a}^2{y}^2$

 

같은 항을 소거합시다. 

 

${c}^2{x}^2+{a}^4={a}^2{x}^2+{a}^2{c}^2+{a}^2{y}^2$

 

x,y와 관련된 항을 좌변에 나머지 항을 우변에 정리합시다.

 

${c}^2{x}^2-{a}^2{x}^2-{a}^2{y}^2={a}^2{c}^2-{a}^4$​

 

아래와 같이 묶어줍니다.

 

$\left({{c}^2-{a}^2}\right){x}^2-{a}^2{y}^2=\left({{c}^2-{a}^2}\right){a}^2$​

 

우리는 위에서 아래 등식일 성립한다는 것을 배웠습니다.

 

${c}^2-{a}^2=-{b}^2$​

 

대입합시다.

 

$-{b}^2{x}^2-{a}^2{y}^2=-{b}^2{a}^2$​

 

양변을 -a²b² 으로 나눠줍니다.

 

$\frac{{x}^2}{{a}^2}+\frac{{y}^2}{b^2}=1$

 

x축위에 두 정점을 갖고, y축 대칭인 타원의 방정식이 유도되었습니다.