[5분 고등수학] 음함수의 미분

 

 

음함수는 $f(x,y)=0$ 의 모양으로 표현되어있는 함수입니다. 

우리가 지금까지 다룬 함수의 모양은 $y=f(x)$ 였죠. 이런 형태의 함수를 양함수라고 부릅니다. 

음함수를 양함수 형태로 표현할 수도 있고, 양함수를 음함수 형태로 표현할 수도 있습니다. 

앞에서 배운 타원, 쌍곡선이 대표적인 음함수입니다. 더 이전에 배운 '원'도 있군요. 

여기서 한가지 의문이 들어야 합니다. 

"앗, 얘내들 함수 아니잖아??" 

(왜 함수가 아니지??라는 의문이 드는 학생들은 큰일난겁니다. 늦었다고 생각할 때가 가장 늦은 때이니 더 열심히 하는걸로)

네 맞습니다. 엄밀히 말하면 함수가 아니죠. 하지만 함수로 놓아야 편하기 때문에 '함수 취급'을 합니다. 근거야 만들면 되니까요.

원을 하나 떠올려 보죠. 

$x^{2}+y^{2}=1$

이 원의 방정식은 두개의 양함수로 나눠서 표현할 수 도 있습니다.

$y=+\sqrt{1-x^{2}}$

$y=-\sqrt{1-x^{2}}$

양함수 두개가 합해진 형태니까. 함수라고 생각하자는겁니다. 

"함수로 생각해야하는 이유는 뭐지??"

미분을 하기 위해서이죠. 우리는 미분을 함수에서 정의했었습니다. 

지금 이 시점에서 미분이 나오는 이유가 궁금하시겠죠. 이차곡선 배우다 뜬금없이말이죠. 

이유는 접선의 방정식 때문입니다. 

타원,쌍곡선의 접선의 방정식을 구하려면 기울기를 알아야 하고, 기울기를 알기 위해 미분을 해야합니다. 

그래서 '음함수의 미분법'을 먼저 배우는 것입니다. 

서론이 길었네요. 미분방법은 간단합니다.

'Chain rule' 

이거만 있으면 끝납니다. 타원을 미분해봅시다. 

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

양변에 d/dx 를 취하면 아래와 같이 됩니다.

$\frac{1}{a^{2}}\frac{d\left ( x^{2} \right )}{dx}+\frac{1}{b^{2}}\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dx}=\frac{d\left ( 1 \right )}{dx}$

미분할 수 있는 항은 먼저 해봅시다.

$\frac{1}{a^{2}}\left ( 2x \right )+\frac{1}{b^{2}}\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dx}=0$

chain rule 을 이용해서 아래와 같이 바꿀 수 있습니다.

$\frac{1}{a^{2}}\left ( 2x \right )+\frac{1}{b^{2}}\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dy}\frac{dy}{dx}=0$

y로 미분해줍니다. 

$\frac{1}{a^{2}}\left ( 2x \right )+\frac{1}{b^{2}}\left ( 2y \right )\frac{dy}{dx}=0$

dy/dx 로 정리해줍니다. 

$\frac{dy}{dx}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y}$