[5분 고등수학] 쌍곡선의 접선의 방정식(쌍곡선 밖의 한점)

 

 

오늘은 쌍곡선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다.

 

1. 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선

초점이 x축 위에 있는 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다.
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$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$

쌍곡선 외부의 한 점 $(p,q)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 접선은 두개가 존재하는데요. 점이 어느 영역에 찍혀있느냐에 따라 다릅니다. 점근선을 그으면 네개의 영역으로 나뉘게 됩니다. 이 네 영역 어디에 점이 존재하느냐에 따라 두 접선이 생기는 방식이 달라집니다. 

접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$이라고 놓겠습니다. 접선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. 

$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$

양변에 $a^{2}b^{2}$ 을 곱하면 아래와 같이 됩니다. 

$b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=1$     (1)

1번 식이라고 놓겠습니다. 

이제 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 기울기를 구해봅시다. 유도했던 쌍곡선 위의 점의 접선의방정식을 이용합시다. 

$\frac{x_{1}x}{a^{2}}-\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$

이 접선의 방정식 위에 $(p,q)$ 도 있기 때문에 아래와 같이 대입할 수 있습니다. 

$\frac{x_{1}p}{a^{2}}-\frac{y_{1}q}{b^{2}}=1$

1,2식을 연립해서 $x_{1}$ 과 $y_{1}$ 을 구하면 됩니다. 공식화하는 것이 불가능하지는 않지만 너무 복잡한 식이 될겁니다. 

풀이 방법을 익히셔서 문제를 푸시면 됩니다. 

초점이 y축에 있는 쌍곡선도 방법은 동일합니다. 풀이는 생략하도록 하겠습니다.