[5분 고등수학] 타원의 접선의 방정식(타원 위의 한점)

 

 

1. 초점이 x축 위에 있는 타원

두 초점이 (c,0) 과 (-c,0) 인 타원의 방정식은 아래와 같습니다.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2} = b^{2}+c^{2} \right )$

이 타원 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식을 구해봅시다. $(x_{1},y_{1})$ 타원위의 점이니까 아래 수식이 성립합니다.

$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$

양변에 $a^{2}b^{2}$을 곱해줍니다. 

$x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$     (1)

다시 타원의 방정식으로 돌아갑시다. $(x_{1},y_{1})$에서 접선의 기울기를 구하기 위해 타원의 방정식을 x로 미분합시다.

$\frac{2x}{a^{2}}+\frac{d}{dx}\left ( \frac{y^{2}}{b^{2}} \right )=0$

체인룰을 적용합니다. 

$\frac{2x}{a^{2}}+\frac{dy}{dx}\frac{1}{dy} \left ( \frac{y^{2}}{b^{2}} \right )=0$

y로 미분한 부분을 계산해줍니다. 

$\frac{2x}{a^{2}}+\frac{dy}{dx} \left ( \frac{2y}{b^{2}} \right )=0$

아래와 같이 정리해줍니다. 

$\frac{dy}{dx}=-\frac{ b^{2}x }{ a^{2}y }$

x1,y1에서의 접선의 기울기는 아래와 같습니다.

$\frac{dy}{dx}=-\frac{ b^{2}x_{1} }{ a^{2}y_{1} }$

(x1,y1)과 방금 구한 기울기를 가지고 직선의 방정식을 만들면 됩니다. 아래와 같습니다. 

$y=-\frac{ b^{2}x_{1} }{ a^{2}y_{1} } \left ( x-x_{1} \right )+y_{1}$

위 과정을 이용해서 직선의 방정식을 구하셔도 되구요. 조금 더 이쁜(?)모양의 공식을 만들 수도 있습니다. 

간단한 변형을 통해 공식을 만들어봅시다. 위 식의 양변에 $a^{2}y_{1}$을 곱해줍니다. 

$a^{2}y_{1} y=- b^{2}x_{1} \left ( x-x_{1} \right )+a^{2}y_{1}^{2}$

전개합니다. 

$a^{2}y_{1} y=- b^{2}x_{1}x+b^{2}x_{1}^{2} +a^{2}y_{1}^{2}$

맨 위에서 구한 1번 식을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

$a^{2}y_{1} y=- b^{2}x_{1}x+a^{2}b^{2}$

아래와 같이 이항합니다. 

$a^{2}y_{1} y+b^{2}x_{1}x=a^{2}b^{2}$

양변을 $a^{2}b^{2}$ 로 나눠줍니다. 

$\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$

타원 위 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식이 유도되었습니다. 

 

2. 초점이 y축 위에 있는 타원

두 초점이 (0,c) 과 (0,-c) 인 타원의 방정식은 아래와 같습니다.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( b^{2} = a^{2}+c^{2} \right )$

타원의 방정식의 모양이 초점이 x축에 있는 타원과 동일합니다. 접선의 방정식 모양도 같습니다.

$\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$