[5분 고등수학] $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 인 점 P의 자취

 

 

아래 식을 만족하는 점 P의 자취를 알아봅시다

$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$ 

m과 n의 조건에 따라 세가지로 나뉩니다. 

 

1. $0 \leq m, \ 0\leq n, \ m+n = 1$ 인 경우

m+n이 1이므로, 양변을 m+n으로 나눠주면 아래와 같습니다. 

$\overrightarrow{OP}=\frac{m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}}{m+n}$

따라서 P는 m:n으로 내분하는 점의 자취입니다. 

 

2. $0 \leq m, \ 0\leq n, \ m+n\leq 1$ 인 경우

m+n=1일때를 생각해봅시다. 직선 AB가 그어집니다.

m=0 일때를 생각해봅시다. n이0 부터 1까지 변하므로 직선 OB가 그어집니다.

n=0일때를 생각해봅시다. m이 0부터 1까지 변하므로 직선 OA가 그어집니다.

연결하면 삼각형 OAB가됩니다. 나머지 범위는 이 삼각형 내부에 존재합니다. 

 

3. $0 \leq m \leq 1 , \ 0\leq n \leq 1$ 인 경우

m이 0일때를 생각해봅시다. n이 0부터 1까지 변하므로 직선 OB가 그어집니다.

n이 0일때를 생각해봅시다. m이 0부터 1까지 변하므로 직선 OA가 그어집니다.

m이 1일때를 생각해봅시다. n이 0부터 1까지 변하므로 직선 AC가 그어집니다.

n이 1일때를 생각해봅시다. m이 0부터 1까지 변하므로 직선 BC가 그어집니다.

네 직선을 연결하면 평행사변형이 만들어집니다. 나머지 범위는 이 평행사변형 내부에 존재합니다.