두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. A의 위치벡터를 →a→a , B의 위치벡터를 →b→b 라고 놓겠습니다.
1. 내분점의 위치벡터
먼저 선분 ¯AB¯¯¯¯¯¯¯¯AB를 m:nm:n 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 →p→p 를 구해봅시다.
벡터 →AP−−→AP 와 →PB−−→PB 는 서로 평행하고, 크기 비는 m:nm:n입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다.
n→AP=m→PBn−−→AP=m−−→PB
벡터 →AP−−→AP 는 →p−→a→p−→a 이고, →PB−−→PB 는 →b−→p→b−→p 입니다.
위 식에 대입하면 아래와 같이 됩니다.
n(→p−→a)=m(→b−→p)n(→p−→a)=m(→b−→p)
양변을 전개합니다.
n→p−n→a=m→b−m→pn→p−n→a=m→b−m→p
이항하여 같은 벡터끼리 정리해줍니다.
m→p+n→p=m→b+n→am→p+n→p=m→b+n→a
아래와 같이 좌변을 묶어줍니다.
(m+n)→p=m→b+n→a(m+n)→p=m→b+n→a
아래와 같이 좌변에 벡터 p만 남기면 내분점의 위치벡터 공식이 유도됩니다.
→p=m→b+n→am+n→p=m→b+n→am+n
2. 외분점의 위치벡터
먼저 선분 ¯AB¯¯¯¯¯¯¯¯AB 를 m:n 으로 외분하는 점 Q의 위치벡터 →q→q 를 구해봅시다.
벡터 →AQ−−→AQ 와 →BQ−−→BQ 는 서로 평행하고, 크기 비는 m:nm:n입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다.
n→AQ=m→BQn−−→AQ=m−−→BQ
벡터 →AQ−−→AQ 는 →q−→a→q−→a 이고, →BQ−−→BQ 는 →q−→b→q−→b 입니다.
위 식에 대입하면 아래와 같이 됩니다.
n(→q−→a)=m(→q−→b)n(→q−→a)=m(→q−→b)
양변을 전개합니다.
n→q−n→a=m→q−m→bn→q−n→a=m→q−m→b
이항하여 같은 벡터끼리 정리해줍니다.
m→q−n→q=m→b−n→am→q−n→q=m→b−n→a
아래와 같이 좌변을 묶어줍니다.
(m−n)→q=m→b−n→a(m−n)→q=m→b−n→a
아래와 같이 좌변에 벡터 p만 남기면 내분점의 위치벡터 공식이 유도됩니다.
→p=m→b−n→am−n→p=m→b−n→am−n
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