[5분 고등수학] 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터

 

 

두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. A의 위치벡터를 $\vec{a}$ , B의 위치벡터를 $\vec{b}$ 라고 놓겠습니다. 

 

1. 내분점의 위치벡터

먼저 선분 $\overline{AB}$를 $m:n$ 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 $\vec{p}$ 를 구해봅시다. 

벡터 $\overrightarrow{AP}$ 와 $\overrightarrow{PB}$ 는 서로 평행하고, 크기 비는 $m:n$입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$n\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{PB}$

벡터 $\overrightarrow{AP}$ 는 $\vec{p}-\vec{a}$ 이고, $\overrightarrow{PB}$ 는 $\vec{b}-\vec{p}$ 입니다. 

위 식에 대입하면 아래와 같이 됩니다.

$n\left ( \vec{p}-\vec{a}  \right )=m\left ( \vec{b}-\vec{p}  \right )$

양변을 전개합니다. 

$n \vec{p}-n\vec{a}  =m \vec{b}-m\vec{p} $

이항하여 같은 벡터끼리 정리해줍니다. 

$m\vec{p}+n \vec{p}=m \vec{b} +n\vec{a}$

아래와 같이 좌변을 묶어줍니다. 

$\left ( m+n \right ) \vec{p}=m \vec{b} +n\vec{a}$

아래와 같이 좌변에 벡터 p만 남기면 내분점의 위치벡터 공식이 유도됩니다. 

$\vec{p}=\frac{m \vec{b} +n\vec{a}}{ m+n  }$

 

 

2. 외분점의 위치벡터

먼저 선분 $\overline{AB}$ 를 m:n 으로 외분하는 점 Q의 위치벡터 $\vec{q}$ 를 구해봅시다. 

벡터 $\overrightarrow{AQ}$ 와 $\overrightarrow{BQ}$ 는 서로 평행하고, 크기 비는 $m:n$입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$n\overrightarrow{AQ}=m\overrightarrow{BQ}$

벡터 $\overrightarrow{AQ}$ 는 $\vec{q}-\vec{a}$ 이고, $\overrightarrow{BQ}$ 는 $\vec{q}-\vec{b}$ 입니다. 

위 식에 대입하면 아래와 같이 됩니다.

$n\left ( \vec{q}-\vec{a}  \right )=m\left ( \vec{q}-\vec{b}  \right )$

양변을 전개합니다. 

$n \vec{q}-n\vec{a}  =m \vec{q}-m\vec{b} $

이항하여 같은 벡터끼리 정리해줍니다. 

$m\vec{q}-n \vec{q}=m \vec{b} -n\vec{a}$

아래와 같이 좌변을 묶어줍니다. 

$\left ( m-n \right ) \vec{q}=m \vec{b} -n\vec{a}$

아래와 같이 좌변에 벡터 p만 남기면 내분점의 위치벡터 공식이 유도됩니다. 

$\vec{p}=\frac{m \vec{b} -n\vec{a}}{ m-n  }$