[5분 고등수학] 쌍곡선의 접선의 방정식(쌍곡선 위의 한점)

 

 

1. 초점이 x축 위에 있는 쌍곡선

​두 초점이 (c,0) 과 (-c,0) 인 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다.

​$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$

이 쌍곡선 위의 점 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 방정식을 구해봅시다.$(x_{1},y_{1})$ 이 쌍곡선 위의 점이므로 아래 수식이 성립합니다.

$​\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$

양 변에 $a^{2}b^{2}$을 곱해줍니다. 

$b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}=a^{2}b^{2}$    (1)

위 식을 1번식이라고 두고, 다시 쌍곡선의 방정식으로 돌아갑니다. 

​$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$

접선의 기울기를 구하기 위해 쌍곡선의 방정식을 x로 미분합시다.

​$\frac{2x}{a^{2}}-\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\left ( \frac{y^{2}}{b^{2}} \right )=0$

좌변의 두번째 항의 미분을 계산합니다. 

$\frac{2x}{a^{2}}-\frac{dy}{dx}\frac{2y}{b^{2}}=0$

아래와 같이 변형합니다. 

$\frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}​$

$(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 기울기는 아래와 같습니다.

​​$\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}$

한 점 $(x_{1},y_{1})$ 와 방금 구한 기울기를 가지고 직선의 방정식을 만들면 아래와 같습니다.

$y=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}\left ( x-x_{1} \right )+y_{1}$

위 과정을 이용해서 직선의 방정식을 구하셔도 되구요. 조금 더 이쁜(?)모양의 공식을 만들 수도 있습니다. 

간단한 변형을 통해 공식을 만들어봅시다. 
​
위 식의 양변에 $a^{2}y_{1}$을 곱합니다. 

$a^{2}y_{1}y=b^{2}x_{1} \left ( x-x_{1} \right )+a^{2}y_{1}^{2}$

전개합니다. 

$a^{2}y_{1}y=b^{2}x_{1}x-b^{2}x_{1}^{2} +a^{2}y_{1}^{2}$

아래와 같이 이항합니다. 

$b^{2}x_{1}x-a^{2}y_{1}y=b^{2}x_{1}^{2}-a^{2}y_{1}^{2}$

1번 식을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

​$b^{2}x_{1}x-a^{2}y_{1}y=a^{2}b^{2}$

양변을 $a^{2}b^{2}$ 으로 나눠줍니다. 

$\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1$

 

 

2. 초점이 y축 위에 있는 쌍곡선

두 초점이 (0,c) 과 (0,-c) 인 쌍곡선의 방정식은 아래와 같습니다.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 \ \left ( a^{2}+b^{2}=c^{2} \right )$

위와 같은 방법으로 접선의 방정식을 구하면 아래와 같습니다.

​$\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=-1$