[5분 고등수학] 포물선의 접선의 방정식(포물선 밖의 한점)

 

 

오늘은 포물선 밖의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다.

 

1. 준선이 y축에 평행한 포물선

준선이 y축에 평행한 포물의 방정식은 아래와 같습니다.

$y^{2}=4px$

포물선 외부의 한 점 $(a,b)$에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 포물선 하나와 점 하나를 가지고 접선을 그려보시면 접선은 두개가 있다는 것을 알 수 있습니다. 

접하는 점을 $(x_{1},y_{1})$ 이라고 놓겠습니다. 포물선의 방정식에 대입하면 아래 식이 성립합니다. 

$y_{1}^{2}=4 p x_{1}$    (1)

이제 $(x_{1},y_{1})$ 에서의 접선의 기울기를 구해봅시다. 

포물선의 방정식으로 돌아갑시다. 포물선의 방정식을 x에 대해 미분하면 아래와 같습니다. 

$\frac{d y^{2}}{dx}=\frac{d\left ( 4px \right )}{dx}$

좌변은 체인룰을 적용하고 우변은 미분해줍니다. 

$\frac{dy}{dx}\frac{d y^{2}}{dy}=4p$

좌변의 미분을 계산합니다. 

$\frac{dy}{dx}2y=4p$

정리해줍니다. 

$\frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y}$

직선의 방정식을 만들어봅시다. 

$y=\frac{2p}{y_{1}}\left ( x-x_{1} \right )+y_{1}$    (2)

이 직선의 방정식은 (a,b)을 지나니까요. 대입해봅시다. 

$b=\frac{2p}{y_{1}}\left ( a-x_{1} \right )+y_{1}$

1번 식을 $x_{1}$으로 정리하여 위 식에 대입합니다. 

$b=\frac{2p}{y_{1}}\left ( a-\frac{y_{1}^{2}}{4p} \right )+y_{1}$

양변에 $y_{1}$을 곱합니다. 

$b y_{1}=2p \left ( a-\frac{y_{1}^{2}}{4p} \right )+y_{1}^{2}$

양변에 2를 곱합니다. 

$2b y_{1}=4p \left ( a-\frac{y_{1}^{2}}{4p} \right )+2y_{1}^{2}$

전개합니다. 

$2b y_{1}=4pa-y_{1}^{2}+2y_{1}^{2}$

아래와 같이 계산해줍니다. 

$2b y_{1}=4pa+y_{1}^{2}$

$y_{1}$에 대해 내림차순으로 정리합니다. 

$y_{1}^{2}-2b y_{1}+4pa=0$

근의공식으로 y1을 구해봅시다.

$y_{1}=b\pm \sqrt{b^{2}-4pa}$

 

위 식으로 $y_{1}$ 을 구하면, 1번 식을 이용하여 $x_{1}$도 구할 수 있습니다. 둘이 구해지면 2번식에 대입하여 직선의 방정식을 만들면 됩니다. 

 

공식으로 만들기엔 너무 복잡하구요. 위 과정을 익혀서 풀어주셔야 합니다. 

 

준선이 x축에 평행한 포물선도 같은 방법으로 구하면 됩니다.