[5분 고등수학] 포물선 방정식의 평행이동과 일반형

 

 

지난시간에 두가지 형태의 포물선의 방정식을 유도했습니다.

 

- 대칭축이 x축에 평행한 포물선의 방정식

- 대칭축이 y축에 평행한 포물선의 방정식

 

한 경우씩 평행이동과 일반형에 대해 알아봅시다. 

 

1. 대칭축이 x축에 평행한 경우

대칭축이 x축에 평행한 포물선의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

${y}^2=4px$

 

초점, 준선, 꼭지점, 대칭축은 아래와 같습니다.

 

초점 : (p,0)

준선 : x=-p

꼭지점 : (0,0)

대칭축 :  y=0

 

평행이동을 해봅시다. 위 방정식을 x축으로 m, y축으로 n 만큼 평행이동하겠습니다.

 

${\left(y-n\right)}^2=4p\

​

초점, 준선, 꼭지점, 축도 함께 이동합니다. 이동한 결과는 아래와 같습니다.

 

초점 : $(p+m,0)$

준선 : $x=-p+m$

꼭지점 : $(m,n)$

대칭축 :  $y=n$

 

​평행이동한 방정식을 전개하겠습니다.

 

${\left(y-n\right)}^2=4p\left(x-m\right)$​

${y}^2-2ny+{n}^2=4px-4pm$​

좌변으로 전부 이항합시다.

 

${y}^2-4px-2ny+{n}^2+4pm=0$​

 

상수들을 아래와 같이 치환합시다.

 

${y}^2+Ax+By+C=0$

 

위 수식은 x축에 평핸한 축을 가진 포물선의 일반형입니다. 단, A는 0이면 안됩니다.

 

 

2. 대칭축이 y축에 평행한 경우

대칭축이 y축에 평행한 포물선의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

${x}^2=4py$

 

초점, 준선, 꼭지점, 대칭축은 아래와 같습니다.

 

초점 : $(0,p)$

준선 : $y=-p$

꼭지점 : $(0,0)$

대칭축 :  $x=0$

 

평행이동을 해봅시다. 위 방정식을 x축으로 m, y축으로 n 만큼 평행이동하겠습니다.

 

${\left(x-m\right)}^2=4p\left(y-n\right)$

​

초점, 준선, 꼭지점, 축도 함께 이동합니다. 이동한 결과는 아래와 같습니다.

 

초점 : $(0,p+n)$

준선 : $y=-p+n$

꼭지점 : $(m,n)$

대칭축 :  $x=m$

 

평행이동한 방정식을 전개하겠습니다.

 

${\left(x-m\right)}^2=4p\left(y-n\right)$​

${x}^2-2mx+{m}^2=4py-4pn$​

 

좌변으로 전부 이항합시다.

 

${x}^2-2mx-4py+{m}^2+4pn=$​

 

상수들을 아래와 같이 치환합시다.

 

${x}^2+Ax+By+C=0$

 

위 수식은 y축에 평핸한 축을 가진 포물선의 일반형입니다.