[5분 고등수학] 이항분포의 평균 유도하기

 

 

이항분포의 평균, 분산, 표준편차를 유도해봅시다.

 

이항분포는 기호로 B(n,p) 로 표현합니다. n은 시행횟수고, p는 사건 발생 확률입니다.

 

이항분포의 확률을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다.

 

$P\left(X=x\right)=_n{C}_x{p}^x{\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

1-p는 q로 나타냅니다.

 

$P\left(X=x\right)=_n{C}_x{p}^x{q}^{n-x}$

 

이항분포의 평균, 분산, 표준편차는 아래와 같습니다.

 

$E\left(X\right)=np$

$V\left(X\right)=npq$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{npq}$

 

먼저 평균을 유도해보겠습니다. 평균은 아래와 같이 계산합니다.

 

$E\left(X\right)=\sum _{x=0}^nx\cdot _n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

x에 0을 넣으면 값이 0이므로 의미가 없어서, 1부터 시작해도 됩니다.

 

$E\left(X\right)=\sum _{x=1}^nx\cdot _n{C}_x\cdot {p}^x\cdot {\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

조합 식을 팩토리얼 식으로 바꿔봅시다.

 

$E\left(X\right)=\sum _{x=1}^nx\cdot \frac{n!}{\left(n-x\right)!x!}\cdot {p}^x\cdot {\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

아래와 같이 변형합시다.

 

$E\left(X\right)=\sum _{x=1}^nx\cdot \frac{n\left(n-1\right)!}{x\left(x-1\right)!\left(n-x\right)!}\cdot p\cdot {p}^{x-1}\cdot {\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

x는 약분됩니다.

 

$E\left(X\right)=\sum _{x=1}^n\frac{n\left(n-1\right)!}{\left(x-1\right)!\left(n-x\right)!}\cdot p\cdot {p}^{x-1}\cdot {\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

n과 p는 시그마에 대해서 상수이기 때문에 밖으로 꺼낼 수 있습니다.

 

$E\left(X\right)=np\sum _{x=1}^n\frac{\left(n-1\right)!}{\left(x-1\right)!\left(n-x\right)!}\cdot {p}^{x-1}\cdot {\left({1-p}\right)}^{n-x}$

 

이번에는 치환을 해줍시다. n-1=m 으로, x-1=k로 치환합시다. 시그마 밖의 n은 치환하지 않습니다.

 

$E\left(X\right)=np\textcolor{#ff0010}{\textcolor{#000000}{\sum _{k=0}^m}\frac{m!}{k!\left(n-k\right)!}\cdot {p}^k\cdot {\left({1-p}\right)}^{m-k}}$

 

위 빨간 부분은 B(m,p)인 이항분포입니다. 이항분포의 확률을 전부 더했으므로 값은 1입니다. 따라서 평균이 아래와 같이 유도됩니다.

 

$E\left(X\right)=np$

 

다음 글에서 이항분포의 분산과 표준편차를 구하겠습니다.