[5분 고등수학] 포물선의 접선의 방정식(포물선 위의 한점)

 

 

지난시간에 배운 음함수를 이용해서 포물선의 접선의 방정식을 구해봅시다. 

포물선에 그을 수 있는 접선은 두가지가 있습니다. 포물선 위의 한 점에서 그은 접선과 포물선 밖의 한점에서 그은 접선입니다. 오늘은 포물선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구해봅시다. 

 

1. 준선이 y축에 평행한 포물선

준선이 y축에 평행한 포물의 방정식은 아래와 같습니다. 

$y^{2} = 4 px$

이 방정식 위의 점 (x1,y1) 위의 접선의 방정식을 구해봅시다.

기울기를 알면 되겠죠. 포물선의 방정식을 미분합시다. 

$\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dx}=\frac{d\left ( 4 px \right )}{dx}$

좌변은 체인룰을 적용하고 우변은 미분해줍니다. 

$\frac{d\left ( y^{2} \right )}{dy} \frac{dy}{dx}=4p$

좌변을 미분합니다. 

$2y \frac{dy}{dx}=4p$

아래와 같이 정리합니다. 

$\frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y}$

(x1,y1) 에서의 기울기는 위 식 y자리에 y1을 넣으면 됩니다. 

$\frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y_{1}}$

자, 이제 기울기와 한 점을 알았으니 직선의 방정식을 만들 수 있습니다. 

$y-y_{1}=\frac{2p}{y_{1}}\left ( x-x_{1} \right )$

한번 더 변형이 가능합니다. 더 간단하고 이쁜 모양으로 정리되요. 위 식에서 양변에 $y_{1}$을 곱합니다. 

$y_{1}\left ( y-y_{1} \right )=2p \left ( x-x_{1} \right )$

전개합니다. 

$y_{1}y+y_{1}^{2}=2px-2px_{1}$

$y_{1}^{2}=4px_{1}$ 이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$y_{1}y+4px_{1}=2px-2px_{1}$

이항하고 계산합니다. 

$y_{1}y=2px+2px_{1}$

아래와 같이 묶어주면 완성입니다. 

$y_{1}y=2p \left ( x+x_{1} \right )$

 

2. 준선이 x축에 평행한 포물선

준선이 x축에 평행한 포물선의 방정식은 아래와 같습니다. 

$x^{2}=4py$

이 방정식 위의 점 (x1,y1) 위의 접선의 방정식을 구해봅시다.

기울기를 알면 되겠죠. 포물선의 방정식을 미분합시다. 

$\frac{d \left ( x^{2} \right )}{dx}=\frac{d\left ( 4py \right )}{dx}$

좌변은 미분하고 우변은 체인룰을 적용합니다. 

$2x=\frac{d\left ( 4py \right )}{dy}\frac{dy}{dx}$

우변을 미분합니다. 

$2x=4p \frac{dy}{dx}$

아래와 같이 정리합니다. 

$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{2p}$

(x1,y1) 에서의 기울기는 위 식 x자리에 x1을 넣으면 됩니다. 

$\frac{dy}{dx}=\frac{x_{1}}{2p}$

자, 이제 기울기와 한 점을 알았으니 직선의 방정식을 만들 수 있습니다. 

$y-y_{1}=\frac{x_{1}}{2p}\left ( x-x_{1} \right )$

한번 더 변형이 가능합니다. 더 간단하고 이쁜 모양으로 정리되요.​

$2p \left ( y-y_{1} \right )=x_{1} \left ( x-x_{1} \right )$

전개합니다. 

$2py-2py_{1}=x_{1}x-x_{1}^{2}$

$x_{1}^{2}=4py_{1}$ 이므로 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$2py-2py_{1}=x_{1}x-4py_{1}$

아래와 같이 이항하고 계산합니다. 

$2py+2py_{1}=x_{1}x$

아래와 같이 묶어주면 완성입니다. 

$x_{1}x=2p\left ( y+y_{1} \right )$

이렇게 하나의 '공식'이 되는건데, 미분해서 구해도 금방 구할 수 있으니까요. 직접 구하는걸 추천드립니다.