[5분 고등수학] 표본평균의 분포

 

 

평균이 m이고, 분산이 σ² 모집단에서 표본을 무수히 많이 뽑을 때, 표본평균의 평균과 표본평균의 분산이 아래와 같다는 것을 지난 강의에서 배웠습니다.

 

$E\left(\overline {X}\right)=m$

 

$V\left(\overline {X}\right)=\frac{ {\sigma }^2}{n}$

 

이때 표본평균의 분포는 어떻게 될까요? 표본평균의 분포는 모집단이 정규분포를 따르느냐에 따라 두가지로 나뉩니다.

 

1) 모집단이 정규분포를 따른다면, 표본평균의 분포도 정규분포를 따른다. 평균은 모평균과 같고, 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다.

 

2) 모집단이 정규분포를 따르지 않더라도, 표본의 크기 n이 충분히 크면 표본평균의 분포는 정규분포를 따른다. 평균은 모평균과 같고, 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 것과 같다.

 

우리는 모집단의 평균과 분산도 모르는 상태라, 모집단이 정규분포를 따르는지 알 길이 없습니다. 따라서 1번 성질을 현실에서 사용할 일은 거의 없습니다.

 

두번째 성질이 통계학의 엄청난 성장을 가져온 '중심극한정리'입니다. 피에르시몽 라플라스라는 수학자가 발견했습니다. 생각하면 할 수록 어마어마한 정리입니다. 모집단의 분포와 상관없이, 표본평균의 분포를 정규분포로 가정할 수 있다니 놀랍습니다. 고등학교 과정에서 증명을 하지는 않지만 궁금하신 분들을 위해 링크를 달아놓겠습니다.

 

 9강부터 이어서 보시면 됩니다.

 

표본평균의 분포가 평균이 m이고, 분산이 σ²/n 인 정규분포를 따른다는 것을 기호로 나타내면 아래와 같습니다.

 

$\overline {X}\sim N\left(m,\frac{ {\sigma }^2}{n}\right)$