[5분 고등수학] 정규분포함수 이해하기

 

 

정규분포 함수식은 아래와 같습니다.

 

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$

 

이 함수의 개형을 알아보기 위해서 함수를 간단하게 바꿔보겠습니다.

 

$f\left(x\right)=A{e}^{-B{x}^2}$

 

더 간단한 함수부터 출발합시다.

 

$f\left(x\right)=A{e}^{-{x}^2}$

 

A와 B는 양수라고 가정하겠습니다.  위 함수는 x가 0일 때 A라는 값을 갖고, x가 커질 수록 함수값이 작아집니다. x가 작아질 때도 함수 값이 작아집니다. 따라서 개형은 아래와 같습니다.

 

 

이제 위 함수에서 x제곱에 B라는 상수를 곱해봅시다 .

 

$f\left(x\right)=A{e}^{-B{x}^2}$

 

개형은 동일하고 함수가 감소하는 속도만 달라질 것입니다.  개형은 알았으니 정규분포 함수를 그려봅시다.

 

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{\left(x-m\right)}^2}{2{\sigma }^2}}$

 

정규분포 함수는 위에서 그린 함수를 x축으로 m만큼 이동한 형태를 갖습니다.

 

 

정규분포 함수는 확률밀도함수이므로, 아래 면적을 구하면 1이 됩니다.

 

$\int _{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx=1$

 

평균 m은 아래와 같이 정의됩니다.

 

$m=\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot f\left(x\right)dx$

 

시그마는 표준편차인데, 표준편차가 커지면 어떻게 될까요? 최댓값이 작아집니다. 따라서 중앙부분은 아래로 내려오게 되는데요. 전체 넓이가 1로 유지되야하므로 중앙에서 먼 부분들은 위로 올라와서 완만한 형태가 됩니다.

 

 

평균이 m이고 분산이 시그마 제곱인 정규분포는 기호로 아래와 같이 나타냅니다.

 

$N\left(m,\sigma ^2\right)$

 

Normal distribution의 첫글자를 딴 것입니다.