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[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (15) 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 지름의 양 끝 두 점을 알 때 원의 방정식 특정 조건이 주어진 상황에서 원의 방정식을 만드는 방법에 대해 알아봅시다. 1. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (원리 이용) 두 점을 알고 있는 상황을 가정하겠습니다. 두 점은 A(x1,y1) 와 B(x2,y2) 입니다. 두 점을 알고 있다면 두 점의 중점을 구할 수 있습니다. 두 점의 중점 M(a,b)은 아래와 같이 구합니다. 반지름의 길이는 두 점 A와 B 사이의 거리를 구하고 반으로 나누면 됩니다. 따라서 원의 방정식은 아래와 같이 정의됩니다. 2. 지름의 양 끝 위치의 두 점을 알 때 (공식 유도) 이번에는 공식을 유도해 봅시다. 반드시 외워야 하는 공식은 아닙니다. 다만 공식 유도 과정이 사고력 향상에 도움이 되기 때문에 다루는 것입니다. 기억해.. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (14) 원의 정의와 방정식 원의 정의와 방정식 원의 정의를 먼저 알아봅시다. 원은 한 고정된 점으로 부터 일정한 거리에 있는 점의 자취입니다. 한 고정된 점을 C(a,b)라고 하고, 이 거리로 부터 일정한 거리를 r이라고 하겠습니다. 일정한 거리에 있는 점을 P(x,y)라고 하겠습니다. 일정한 거리 r을 '반지름'이라고 부릅니다. 고정된 점 : C(a,b)일정한 거리 : r일정한 거리에 있는 점 : P(x,y) 이 상황을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 양변을 제곱하면 원의 방정식의 표준형이 됩니다. (원의 방정식의 표준형) 중심이 원점이라면 a와 b는 0이 됩니다. 이 원의 방정식을 원의 방정식의 기본형이라고 합니다. (원의 방정식의 기본형) 원의 방정식의 표준형을 전개해봅시다. 아래와 같이 이항하겠습니다. 위 식에서 x의 .. 2018. 10. 9.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (13) 삼각형의 넓이 삼각형의 넓이 아래 그림과 같이 좌표평면에 세 점 A,B,C로 정의된 삼각형이 있습니다. 이 삼각형의 넓이를 구해봅시다. 공식화하지는 않겠습니다. 원리를 이해해봅시다. 삼각형의 넓이는 '밑변의 길이'와 '높이'를 알면 구할 수 있습니다. 밑변을 선분 BC로 놓으면 밑변의 길이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 이제 높이를 구하면 되는데요. 높이는 점 A와 직선 BC의 거리입니다. 직선 BC의 방정식은 아래와 같이 정의합니다. 이 직선과 점 A 사이의 거리를 구하면 됩니다. 구해진 거리를 h라고 하면 삼각형의 넓이는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 9.
고등수학 기하 한눈에보기 (2015개정, 2018시행) 기하 한눈에보기 (2015개정, 2018시행) 기하와 벡터는 2021 수능부터 제외되었습니다. 하지만 잘 아시겠지만 교육과정이 계속 바뀌고 있어서요. 언제 또 들어갈지 몰라요. 그래서 설명은 써놓으려고 합니다. 기하는 이름부터 좀 생소하죠. 기하라는 이름 뜻부터 알아봅시다. 기하를 한자로 풀어봤어요. 몇(기)어찌, 얼마(하) 몇이나 되는지, 얼마나 되는지 공부하는 학문?? 뭔가 측정하는거 같긴 한데 명확하지가 않아요. 영어를 봅시다. 기하(학)은 영어로 geometry 에요. 그리스어인 게오메트리아(γεωμετρία)에서 유래된 단어라고 합니다. 게오(γεω)는 땅이라는 뜻이구요. 메트리아(μετρία)는 측량한다는 뜻입니다. 위 내용을 종합해보면 기하는 땅을 측량하는 학문이군요. 대충 뭔지는 알것 같네.. 2018. 10. 8.
고등수학 확률과 통계 전체내용 한눈에보기 (2015개정, 2018시행) 확률과 통계 한눈에보기 (2015개정, 2018시행) 확률과 통계의 대단원을 살펴봅시다. 1. 경우의 수 2. 확률 3. 통계 1단원 경우의 수는 '수학(하)'에서 이어지는 내용입니다. 수학(하)에서는 경우의 수의 기초 내용만 배운거구요. '확률과 통계'에서는 심화내용을 배웁니다. 수학(하)에서 순열과 조합 무엇인지를 배웠다면, 확률과통계에서는 원순열, 중복순열,중복조합 등을 배우는 거죠. 그리고 이항분포의 기초가 되는 '이항정리'를 배웁니다. 경우의 수가 왜 확률과 통계 안에 들어 있을까요? (어떤 사건의 경우의 수)를 (전체 경우의 수)로 나눈 것이 '확률'입니다. 확률을 배우려면 기본적으로 경우의 수를 알고 있어야 해요. 마지막 단원은 통계입니다. 통계는 크게 '추정'과 '검정'으로 나뉩니다. 고등.. 2018. 10. 8.
고등수학 미적분 전체내용 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행) 미적분 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행) 수학2에서 미분과 적분의 기본 개념을 배웠어요. 미분과 적분은 함수를 가지고 하는데요. 수학2에서는 '다항함수'로만 미분도 하고 적분도 해봤죠. 그럼 '미적분'이라는 과목에서는 뭘 더 배울까요? '미적분'에서는 미분과 적분을 더 다양한 함수에 적용해보는 겁니다. 다항함수 말고 배운 함수들이 뭐가 있었나 떠올려 보셔요. '미적분'의 대단원을 살펴봅시다. 1. 수열의 극한2. 미분법3. 적분법 이상한 놈이 하나 들어가 있습니다. 수열의 극한이 들어가 있네요. 수열은 함수라서 '수학1'에 들어가 있었는데 말이죠. 수열의 극한에서는 급수를 배웁니다. 급수는 수열의 합을 무한대로 보낸 것입니다. 수열을 무한히 더하는 것이죠. 급수를 이용하면 함수의 넓이를 구할 수.. 2018. 10. 8.
고등수학 수학2 전체내용 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행) 수학2 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행) 수학2는 미분과 적분의 기본 개념을 배우는 과목입니다. '미적분'이라는 과목에서는 심화된 내용을 배우구요. 수학2의 대단원을 봅시다. 1. 함수의 극한과 연속2. 미분3. 적분 미적분을 배우기 전에 '함수의 극한과 연속'을 먼저 배웁니다. 다 이유가 있겠죠? 미분이 가능하려면 함수가 연속이어야 하고, 미분을 정의하려면 함수의 극한이 필요합니다. 자세한 내용은 나중에 배우도록 해요. 그렇다면 미분은 뭘까요? 미분은 함수의 접선의 기울기를 구하는 것입니다. 별거 아니죠? 예를 들어 시간에 따른 속도의 함수를 미분하면 가속도 함수가 되는 겁니다. 그리고 미분은 함수의 개형을 구하는데도 사용됩니다. 미분한 함수를 통해서 원래 함수의 모양을 알 수 있습니다. 미분.. 2018. 10. 8.
고등수학 수학1 전체내용 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행) 수학1 한눈에 보기 (2015개정, 2018시행) 수학 1의 큰그림을 그려보는 시간입니다. 이름만 봐서는 무슨 내용이 담겨있을지 전혀 예측이 되지 않죠? 수학(상),수학(하),수학1,수학2는 이름에서 어떤 내용도 유츄해 볼 수가 없습니다. '미적분'이나 '확통'은 과목 이름을 보면 무슨 내용일지 알 수 있는데 말이죠. 이름을 왜 저렇게 지었는지 정확한 이유는 저도 모르지만. 대표하는 이름을 짓기가 어려웠던거 같아요. 나름대로 순서는 있지만 이름 하나로 묶기에는 여러 내용을 담고 있으니까요. 수학(상)에서 배웠던 큰 단원이름만 한번 더 써봅시다. 다항식방정식과 부등식도형의 방정식 뭐라고 이름을 붙이면 좋았을까요? 수학(하)에서 배운 내용도 써볼게요. 집합과 명제함수기본개념, 유리함수, 무리함수경우의수(순열.. 2018. 10. 8.
고등수학 수학(하) 전체내용 한눈에보기 (2015개정,2018시행) 수학(하) 한눈에보기 (2015개정,2018시행) 수학(상) 다음에 배우는 과목이 수학 (하) 입니다. 이름을 참 뭐같이 지었죠? 내용을 전혀 예측할 수 없는 딱딱한 제목입니다. 수학(상)과 수학(하)는 사실은 한권의 과목이에요. 이라는 과목이죠. 내용이 많아서 둘로 나눈 것입니다. 자, 그럼 오늘은 수학(하) 얘기를 해봅시다. 1. 집합과 명제2. 함수와 그래프3. 경우의수 수학 (하)에서는 위의 세가지 내용을 배웁니다. 집합은 중학교때 이미 배워서 집합이 뭔지 부터 설명할 필요는 없을 것 같네요. 명제 이야기는 간단히 해볼게요. 명제가 뭔지 정확히 알고있어야 합니다. 아무말이나 '문장'이 된다고 해서 명제가 되지는 않아요. 명제가 뭐죠?? 한번 대답해봅시다. 명제는 참과 거짓을 판별할 수 있는 문장 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (12) 점과 직선 사이의 거리 점과 직선 사이의 거리 아래 그림과 같이 좌표평면에 한 점 p와 직선 l이 있습니다. 점 p에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 H라고 하겠습니다. 주어진 값과 구해야하는 값을 먼저 살펴봅시다. 주어진 값 : a, b, c, x1, y1구해야 하는 값 : d 먼저 점과 직선 사이의 길이 d를 P와 H사이의 거리로 표현해봅시다. 이 식에서 x2와 y2를 주어진 값(a,b,c,x1,y1)으로 바꾸어야 합니다. 위 상황에서 성립하는 조건들을 이용하면 됩니다. 먼저 직선 l과 H는 서로 수직이라는 조건이 있습니다. 직선 l의 기울기는 -(a/b) 이고, 직선 PH의 기울기는 (y1-y2)/(x1-x2) 이므로 아래 등식이 성립합니다. 아래와 같이 변형하겠습니다. 이 값을 k라고 놓겠습니다. 아래와 같이 변형할 수.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (11) 두 직선의 교점을 지나는 직선 두 직선의 교점을 지나는 방정식 아래와 같이 두 직선을 정의해봅시다. 두 직선의 교점을 (p,q)라고 합시다. 이 교점을 지나는 직선의 방정식은 무수히 많습니다. 한 점을 지나는 직선의 방정식은 무수히 많아서 그렇습니다. 기울기를 m이라고 한다면, 교점 (p,q)를 지나는 직선의 방정식은 아래와 같이 표현할 수 있습니다. 하지만 이 방정식을 정의하려면 두 직선의 방정식을 연립하여 교점을 구해주어야 합니다. 귀찮죠. 수학자들이 고민하던 중에 아이디어가 하나 떠올랐습니다. '항등식을 이용해보자' 아래와 같은 항등식을 정의했습니다. k와 상관 없이 항상 성립하는 항등식입니다. 항등식에 대해 조금 더 설명해보겠습니다. k에 대해서 항상 성립해야하기 때문에 빨강식과 파랑식이 동시에 0이 되어야 합니다. 따라서 우.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (10) 선분의 수직이등분선의 방정식 선분의 수직이등분선의 방정식 두 점 A(a,b)와 B(c,d)가 있다고 해봅시다. 두 점을 연결하면 선분 AB를 만들 수 있습니다. 선분 AB를 좌표평면에 그려봅시다. 이 선분의 수직이등분선의 방정식을 구하는 방법을 알아봅시다. 선분 AB의 수직이등분선을 l 이라고 하겠습니다. 선분 AB와 직선 l의 기울기는 서로 수직입니다. 또한 직선 l 은 선분 AB의 중점을 지납니다. 따라서 아래 두 조건이 만족해야 합니다. 1) (직선 l 의 기울기) x (선분 AB의 기울기) = -1 2) 직선 l 이 선분 AB의 중점을 지남 생각 확장 질문 : 직선 l 의 방정식을 y=mx+n 이라고 놓고, 위 두 조건을 수식으로 표현해 봅시다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (9) 두 직선이 수직일 조건 두 직선이 수직일 조건 두 직선의 수직관계는 기울기만으로 결정됩니다. 그쵸? y절편이 위아래로 이동해도 수직이라는 것은 변하지 않습니다. 따라서 y절편이 0인 간단한 형태의 방정식을 가지고 수직일 조건을 찾을 수 있습니다. 서로 수직인 두 직선을 정의해봅시다. 좌표평면에 나타내면 아래와 같습니다. 그림을 먼저 이해해봅시다. 빨간 직선은 (1,m)을 지나구요. 파란직선은 (1,m')을 지납니다. 각각 점 A와 B라고 하겠습니다. 선분 AB를 만들면 직각삼각형이 하나 정의됩니다. 아래와 같은 피타고라스의 정리가 성립합니다. 좌표를 이용하여 표현해봅시다. 좌변을 전개하고 계산해봅시다. 최종적으로 계산된 식은 아래와 같습니다. 두 직선이 서로 수직일 조건은, 두 직선의 기울기를 곱하여 -1이 되는 것입니다. 전.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (8) 두 직선의 위치관계 두 직선의 위치관계 두 직선이 가질 수 있는 위치관계를 생각해봅시다. 두 가지가 떠오릅니다. '만나거나, 만나지 않거나' 두 직선이 만나지 않으려면 평행해야하구요. 만나는 경우는 일치하거나, 한 점에서 만나는 경우가 있습니다. 따라서 아래의 세가지 경우로 나눠지죠. 1) 평행2) 일치3) 한 점에서 만남 한 점에서 만난다는 것에 포함되기는 하지만, 두 직선이 수직할 때를 특수한 경우로 추가해줍시다. 1) 평행2) 일치3) 한 점에서 만남4) 수직 두 직선을 정의할건데요. 표준형만 다루겠습니다. 일반형이 나오면 표준형으로 바꿔서 비교하면 됩니다. 이제 조건을 찾아봅시다. 1. 두 직선이 평행할 조건 기울기가 서로 같고, y절편을 달라야합니다. y절편까지 같으면 일치하게 됩니다. 2. 두 직선이 일치할 조건.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (7) 직선의 방정식의 일반형과 표준형 직선의 방정식의 일반형과 표준형 1. 직선의 방정식의 일반형 직선의 방정식의 일반형은 아래와 같습니다. a와 b가 둘다 0이면 직선이 아니니까요. 둘 중 하나는 0이 아니어야 합니다. 이 방정식으로 모든 직선의 방정식을 표현할 수 있습니다. 2. 직선의 방정식의 표준형 직선의 방정식의 표준형은 아래와 같습니다. 기울기와 y절편을 한눈에 볼 수 있는 형태입니다. x=a라는 y축에 평행한 직선의 방정식은 표현할 수 없습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (6) 좌표축에 수직/평행한 직선의 방정식 좌표축에 수직/평행한 직선의 방정식 1. (a,0)을 지나고 y축에 평행한 방정식 = (a,0)을 지나고 x축에 수직인 방정식 y축에 평행인 것과 x축에 수직인 것은 같은 말입니다. 아래 그림과 같은 직선입니다. 먼저 말로 표현하고 식으로 바꿔봅시다. "x는 항상 a이고, y는 모든 실수인 직선" 식으로 바꾸면 이렇게 될겁니다. x=a (y는 모든 실수) y는 모든 실수를 생략하면 아래 방정식을 얻습니다. 2. (0,b)를 지나고 x축에 평행한 직선 = (0,b)를 지나고 y축에 수직인 직선 x축에 평행인 것과 y축에 수직인 것은 같은 말입니다. 아래 그림과 같은 직선입니다. 먼저 말로 표현하고 식으로 바꿔봅시다. "y는 항상 b이고, x는 모든 실수인 직선" 식으로 바꾸면 이렇게 될겁니다. y=b (x.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (5) 직선의 방정식 만들기 직선의 방정식 만들기 어떤 조건이 주어졌을 때, 그 조건을 이용하여 직선의 방정식을 만들어봅시다. 네 가지 유형이 있습니다. 1. 기울기와 y절편 기울기와 y절편이 주어졌을 때, 직선의 방정식을 만드는 방법입니다. 기울기는 m이고, y절편은 n이라고 놓겠습니다. 직선의 방정식의 표준형 y=ax+b을 이용하여 구하겠습니다. a가 기울기를 나타내므로 a=m입니다. 따라서 직선의 방정식은 아래와 같이 변형됩니다. y절편이 n이므로 위 직선은 (0,n)을 지납니다. 따라서 b=n이 됩니다. 2. 기울기와 한 점 기울기와 한 점이 주어졌을 때 직선의 방정식을 만드는 방법입니다. 기울기는 m이고, 한 점의 좌표는 라고 해봅시다. 직선의 방정식의 표준형 y=ax+b 을이용하여 구하겠습니다. a가 기울기를 나타내므로 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (4) 삼각형의 무게중심 삼각형의 무게중심 삼각형 무게중심의 정의부터 알아봅시다. 삼각형의 무게중심 : 삼각형의 세 중선의 교점 삼각형의 무게중심은 각 중선을 2:1로 내분하는 성질을 갖습니다. 무게중심의 좌표를 구해봅시다. 먼저 BC의 중점 M의 좌표를 구하면 아래와 같습니다. 무게중심 G의 좌표는 A와 M을 2:1 로 내분하는 점입니다. 따라서 내분점 공식을 이용하여 구하면 아래 결과를 얻습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (3) 내분점, 외분점 내분점, 외분점 1. 수직선 위 선분의 내분점 수직선 위에 두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. 선분 AB를 m : n 으로 내분하는 점 P를 구해봅시다. (m,n은 양수입니다. ) 선분 AP와 PB 사이의 비례식을 세울 수 있습니다. 좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 비례식을 풀어서 x에 대해 정리합시다. 선분 AB의 중점의 좌표는 m=n인 경우이므로 아래와 같습니다. 2. 수직선 위 선분의 외분점 수직선 위에 두 점 A와 B가 있습니다. 선분 AB를 m : n 으로 외분하는 점 Q를 구해봅시다. (m,n은 양수입니다.) 외분점은 두 가지 경우로 나뉩니다. m>n 인 경우와 mn 인 경우 선분 AP와 BP로 비례식을 세워봅시다. 좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 비례식을 풀어서 x에 대.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (2) 파포스의 정리(중선정리) 파포스의 정리(중선정리) 삼각형 ABC가 있다고 해봅시다. 변 BC의 중점이 M입니다. 이때 아래 등식이 성립한다는 정리가 '파포스의 정리'입니다. 또는 '중선정리'라고도 부릅니다. 증명을 해봅시다. 삼각형을 좌표평면위에 올려놓겠습니다. 파포스의 정리를 좌표를 이용해서 표현해봅시다. 전개하고 좌,우변을 비교하는 것으로 증명할 수 있습니다. 좌우변이 같으므로 파포스의 정리가 성립함을 증명했습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (1) 두 점 사이의 거리 두 점 사이의 거리 1. 수직선 위의 두 점 사이의 거리(1차원) 두 점 사이의 거리를 구해볼 건데요. 1차원부터 시작해봅시다. 1차원은 수직선이구요. 수직선 위에 두 점이 있다고 해봅시다. 점 와 점입니다. 두 점 사이의 거리는 아래와 같이 구합니다. 2. 수직선 위의 두 점 사이의 거리 (2차원) 2차원 평면에서의 두 점사이의 거리는 피타고라스 정리를 이용하여 구합니다. 점 A와 B 사이의 거리를 구해봅시다. 피타고라스 정리에 의해 아래 등식이 성립합니다. 수직선에서 두 점 사이의 거리에 의해 아래 등식이 성립합니다. 따라서 두 점 A, B 사이의 거리는 아래와 같이 계산합니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (53) 이차방정식의 근의 위치 이차방정식의 근의 위치 이차방정식의 근의 위치는 네가지가 있습니다. 1. 두 근이 p보다 크다2. 두 근이 p보다 작다3. 두 근 사이에 p가 있다4. 두 근이 p와 q 사이에 있다. 이차항의 계수는 양수라고 가정하구요(음수면 -1 곱하면되므로 모든 경우를 포함하는 것임). 이차방정식은 아래와 같습니다. 하나씩 자세히 살펴봅시다. 1. 두 근이 p보다 클 조건 일단 두 근을 가져야합니다. 따라서 아래 조건이 필요합니다. 왜 같거나 크다냐구요? '서로 다른' 두 근이라고 한 적이 없기 때문입니다. 따라서 중근도 포함됩니다. 두 근이 p보다 크기 때문에, 대칭축도 p보다 클 것입니다. 완전제곱식을 만들면 대칭축을 구할 수 있습니다. 대칭축이 p보다 크다는 조건을 추가합시다. 하지만 이 조건만으로는 부족합니다.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (52) 연립이차부등식 연립이차부등식 연립이차부등식은 최고차항이 2차인 연립부등식입니다. 대표적으로 두 가지 형태가 있습니다. 유형1 이차부등식 두개가 주어집니다. 각각 범위를 구하고, 공통부분(교집합)을 구해주면 됩니다. [예시] 유형2 세개의 식이 부등식으로 연결되어있는 경우가 있습니다. 두개의 부등식으로 바꿔서 풀어줍니다. [예시] 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (51) 이차부등식이 항상 성립할 조건 이차부등식이 항상 성립할 조건 이차부등식은 아래와 같이 네가지 형태가 있었습니다. 이 부등식이 항상 성립할 조건을 하나씩 살펴봅시다. 1. 먼저 a가 음수라고 가정해봅시다. 이차함수는 위로 볼록이 됩니다. 위로볼록인 이차함수가 항상 0보다 클 수 있을까요? 불가능합니다. 따라서 a는 양수여야 합니다. 이제 함수가 아래로 볼록이 되었습니다. 아래로 볼록인 이차함수가 항상 양수이려면 근이 없어야 합니다. x축 위로 떠있어야 합니다. 따라서 아래 두 조건이 성립해야 합니다. 2. 1번 경우와 동일한데 같다는 기호가 추가되었습니다. 따라서 x축에 접할때(함수값이 0일때)도 성립하게 됩니다. 조건이 아래와 같이 바뀝니다. x축에 접할때는 근이 1개인 경우니까 D=0을 추가해주면 됩니다. 3. a가 양수라고 가정해.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (50) 이차부등식 만들기 이차부등식 만들기 x의 범위가 주어진 상태에서, 거꾸로 이차부등식을 만들어봅시다. 1) 이차항의 계수가 1 이고, 해가 α 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (49) 이차부등식의 해 이차부등식의 해 이차부등식은 부등식 최고차항이 2차인 부등식입니다. 우리가 다루는 부등식은 미지수가 x 하나인 'x에 대한' 이차부등식입니다. x에 대한 이차부등식은 아래와 같이 네가지 경우가 있습니다. 1. 이차부등식을 함수로 해석하기 아래 이차방정식을 함수로 해석하는 방법을 알려드리겠습니다. 위 부등식을 아래와 같은 두 함수의 크기비교로 생각할 수 있습니다. 이차함수 f(x) 와 y=0인 직선을 나타내는 함수 g(x)입니다. 이차부등식을 함수로 해석하면 그래프를 이용하여 직관성을 더할 수 있습니다. 2. 판별식 D > 0 인 경우 아래 그림을 통해 이해할 수 있습니다. 3. 판별식 D = 0 인 경우 4. 판별식 D < 0 인 경우 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (48) 일차부등식+절댓값기호 일차부등식+절댓값기호 일차부등식이 절댓값을 포함하는 경우가 있습니다. 먼저 가장 단순한 형태의 부등식을 살펴봅시다. x의 범위를 나눠봅시다. x가 양수인 경우, 0인 경우, 음수인 경우로 나뉩니다. 1) x가 양수인 경우 x가 양수인 경우에는 부등식이 아래와 같이 변형됩니다. x의 범위까지 함께 쓴다면 아래와 같습니다. 2) x가 0인 경우 x가 양수인 경우에는 부등식이 아래와 같습니다. 이 부등식이 성립하므로, x=0을 해의 범위에 포함시킬 수 있습니다. 3) x가 음수인 경우 x가 음수인 경우에는 아래 부등식이 성립합니다. x의 범위를 함께 쓰면 아래와 같습니다. 구해진 세 범위를 합하여 쓰면 아래와 같습니다. 따라서 우리는 이런 결론을 얻을 수 있습니다. 에서 x의 범위는 이다. 이번에는 한걸음 더.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (47) 일차부등식 일차부등식 일차부등식은 차수가 1차인 부등식입니다. x,y,z 같은 1차항만 등장하는 부등식입니다. 오늘 우리가 다룰 부등식은 일차방정식 중에서도 'x에 대한' 일차방정식입니다. 미지수가 x 한종류라서 무척 쉽습니다. x에 대한 일차부등식은 네가지 형태가 있습니다. 풀이방식은 동일하므로 첫번째 경우만 살펴봅시다. 아래와 같은 형태로 변형합니다. a의 범위에 따라 부등식의 풀이가 달라집니다. 1) a가 양수인 경우 a로 양변을 나눠주면 됩니다. 2) a가 음수인 경우 a로 양변을 나눠주는데, 이때 부호가 바뀝니다. 3) a가 0인 경우 a가 0이면 다음과 같은 모양이 됩니다. 만약 b가 양수라면, 우변은 음수가 되므로 x에 어떤 실수를 넣어도 성립하게 됩니다. 따라서 b가 양수라면 해는 '모든 실수'가 됩.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (46) 부등식의 연산 부등식의 연산 두 미지수 x,y의 범위가 아래와 같이 주어졌다고 가정합시다. x와 y의 사칙연산 결과를 범위로 구해봅시다. 1. 덧셈 x,y를 더해서 나올 수 있는 가장 큰 값은 b와 d를 더한 값입니다. x,y를 더해서 나올 수 있는 가장 작은 값은 a와 c를 더한 값입니다. 따라서 덧셈의 결과는 아래와 같습니다. 2. 뺄셈 x-y의 범위를 구해봅시다. 범위의 최댓값은 x범위 최댓값 b에서 y범위 최솟값 c를 뺸 값인 b-c입니다. 반대로 범위의 최솟값은 x범위 최솟값 a에서 y범위 최댓값 d를 뺀 값입니다. 따라서 뺄셈의 결과는 아래와 같습니다. 3. 곱셈 xy의 범위는 조금 복잡합니다. a,b,c,d의 부호에 따라 결과가 달라지기 때문입니다. 모두 양수인 경우에는 범위의 최댓값이 bd, 최솟값이 a.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (45) 부등식의 성질 부등식의 성질 부등식은 등식의 등호 자리에 부등호가 들어가 있는 식입니다. 따라서 어떤 값이 구해지는 것이 아니라 범위가 구해집니다. 부등식을 만족시키는 값의 범위를 부등식의 해라고 합니다. 부등식에는 몇가지 성질이 있습니다. 너무 당연해서 쉬운 성질들이 있구요. 약간 헷갈리는 성질들이 있습니다. 세 실수 a,b,c에 대해 아래 성질들이 성립합니다. 1. 아주 쉬운 성질들 1) a>b, b>c 이면 ab 이면 a+c>b+c이다. 3) a>b 이면 a-c>b-c이다. 4) a,b 가 같은 부호이면 ab>0, a/b>0 이다. 5) a,b 가 다른 부호이면 ab0 이면, 이다. (부등호 방향 그대로) 2) a>b 이고 cb 이면 (부등호 방향 바뀜) 4) a,b가 다른 부호일 때 a>b 이면 (부등호 방향 .. 2018. 10. 8.
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