고등수학 기하 한눈에보기 (2015개정, 2018시행)

기하 한눈에보기 (2015개정, 2018시행)

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기하와 벡터는 2021 수능부터 제외되었습니다. 하지만 잘 아시겠지만 교육과정이 계속 바뀌고 있어서요. 언제 또 들어갈지 몰라요. 그래서 설명은 써놓으려고 합니다. 

기하는 이름부터 좀 생소하죠. 기하라는 이름 뜻부터 알아봅시다. 기하를 한자로 풀어봤어요.

몇(기)

어찌, 얼마(하)

몇이나 되는지, 얼마나 되는지 공부하는 학문?? 뭔가 측정하는거 같긴 한데 명확하지가 않아요. 영어를 봅시다. 

기하(학)은 영어로 geometry 에요. 그리스어인 게오메트리아(γεωμετρία)에서 유래된 단어라고 합니다. 게오(γεω)는 땅이라는 뜻이구요. 메트리아(μετρία)는 측량한다는 뜻입니다. 

위 내용을 종합해보면 기하는 땅을 측량하는 학문이군요. 대충 뭔지는 알것 같네요. 

오늘날의 정의는 아래와 같습니다. 

'공간에 있는 점, 선, 면, 도형의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야'

기하의 대단원을 봅시다.

1. 이차곡선

2. 평면백터

3. 공간도형과 공간좌표

이차곡선은 이차식으로 표현할 수 있는 곡선들입니다. 포물선, 타원, 쌍곡선을 배웁니다. 원뿔을 여러 단면으로 잘라보다가 발견한 곡선들이라 '원뿔곡선'이라고도 부릅니다. 

곡선과 도형의 모양과 위치에 대한 내용이니까 '기하'안에 들어가는게 맞네요.

이어지는 내용은 '벡터'입니다. 벡터에 반전이 있으니 잘 읽어보셔요. 

대학교 수학과 교수님이 이런 질문을 하신 적이 있습니다.

"벡터가 뭔지 설명해봐"

매우 확신에 차서 이런 대답을 했죠.

"크기와 방향이 있는 물리량입니다!"

돌아오는 대답은 의외였습니다.

"그건 물리적 정의고, 수학적 정의를 말해보라구"

교수님은 끝까지 안알려주시며 혼자 찾아보라고 하셨고, 집으로 돌아와서 인터넷을 뒤졌습니다.  

벡터의 수학적 정의는 이랬어요. (수학적 정의가 본래의 정의입니다.)

'벡터 공간의 원소'

네 그렇습니다. 벡터는 수학적 필요에 의해 정의된 개념이라. 이렇게 밖에 정의할 수가 없었어요. 벡터를 현실세계의 물리공간에 적용했더니 벌어진 일이, 방향과 크기였습니다. 

방향이 없는 벡터가 존재할 수도 있습니다. 더 여려워지기 전에 이 이야기는 여기까지만 할게요.  

벡터가 크기와 방향이 있는 물리량이라는 정의는 '기하학적 벡터'에 한정되며, 고등학고 과정에서 통하는 개념입니다. 그렇게만 알고 넘어갑시다. 

아무튼 우리는 벡터가 기하학에 등장하는 이유를 알면 되겠죠??

벡터가 기하학에 등장하는 이유는 생각보다 단순합니다. 그것은.

'편리하기 때문입니다.'

벡터라는 개념을 도입하면 기하적인 상황을 대수적(수식으로)으로 표현하는게 쉬워지거든요. 

예를들어 두 직선사이의 각도를 구할 때, 벡터의 내적이라는 걸 이용하면 겁나 쉽게 구할 수 있습니다. 그래서 벡터를 먼저 배우고 나서 공간도형으로 넘어가는거죠. 

공간도형에서는 공간에 그어진 직선과 평면의 관계를 배웁니다. 원래는 방정식까지 배웠었고 여기 벡터가 많이 쓰였는데, 안타깝게도 2015개정(2018시행) 교육과정에서는 빠졌어요.

공간좌표에서는 2차원에 찍던 점을 3차원에 찍어봅니다. 그리고 점을 가지고 이것저것 해봅니다. 공간에서 점과 점사이 거리도 구해보고, 내/외분점도 구해보고 말이죠. 

다음시간 부터 자세한 내용을 공부해봅시다.