[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (12) 점과 직선 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리

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아래 그림과 같이 좌표평면에 한 점 p와 직선 l이 있습니다. 점 p에서 직선 l 에 내린 수선의 발을 H라고 하겠습니다.

주어진 값과 구해야하는 값을 먼저 살펴봅시다. 

주어진 값 : a, b, c, x1, y1

구해야 하는 값 : d

먼저 점과 직선 사이의 길이 d를 P와 H사이의 거리로 표현해봅시다.

이 식에서 x2와 y2를 주어진 값(a,b,c,x1,y1)으로 바꾸어야 합니다. 위 상황에서 성립하는 조건들을 이용하면 됩니다.

먼저 직선 l과 H는 서로 수직이라는 조건이 있습니다.

직선 l의 기울기는 -(a/b) 이고, 직선 PH의 기울기는 (y1-y2)/(x1-x2) 이므로 아래 등식이 성립합니다.

아래와 같이 변형하겠습니다.

이 값을 k라고 놓겠습니다.

아래와 같이 변형할 수 있습니다.

결과를 1번 식에 대입하겠습니다.

이제 k를 주어진 값으로 표현하면 됩니다. 이용할 수 있는 조건이 하나 더 있습니다. 점 H(x2y2)가 직선 l위의 점이라는 것입니다. 따라서 아래 수식이 성립합니다. 

(2)식을 변형하면 아래와 같습니다. 

위 식을 (4)번 식에 대입하고 전개합시다. 

이 식을 k에 대해 정리하겠습니다.

위 식을 (3)식에 대입합시다. 

아래와 같이 변형합니다. 점과 직선 사이 거리를 구하는 공식을 얻었습니다. 

 

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