[모듈식 수학 (상)] 3. 도형의 방정식 (3) 내분점, 외분점

내분점, 외분점

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1. 수직선 위 선분의 내분점

수직선 위에 두 점 A와 B가 있다고 해봅시다. 선분 AB를 m : n 으로 내분하는 점 P를 구해봅시다. (m,n은 양수입니다. )

선분 AP와 PB 사이의 비례식을 세울 수 있습니다. 

좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다. 

비례식을 풀어서 x에 대해 정리합시다.

선분 AB의 중점의 좌표는 m=n인 경우이므로 아래와 같습니다. 

2. 수직선 위 선분의 외분점

수직선 위에 두 점 A와 B가 있습니다. 선분 AB를 m : n 으로 외분하는 점 Q를 구해봅시다. (m,n은 양수입니다.)

외분점은 두 가지 경우로 나뉩니다. m>n 인 경우와 m<n인 경우입니다. 

1) m>n 인 경우

선분 AP와 BP로 비례식을 세워봅시다.

좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다.

비례식을 풀어서 x에 대해 정리합시다. 

2) m<n 인 경우

선분 QA와 QB로 비례식을 세워봅시다.

좌표를 이용하여 표현하면 아래와 같습니다.

비례식을 풀어서 x에 대해 정리합시다. 

3. 좌표평면 위의 선분의 내분점

좌표평면 위에 두 점 A와 B가 있습니다. 선분 AB를 m : n 으로 내분하는 점 P를 구해봅시다. 

점 A,B,P 에서 x축과 y축에 수선의 발을 내립니다. 수직선에서의 내분 원리를 이용하여 내분점 x와 y를 각각 구하면 아래와 같습니다. 

따라서 점 P의 좌표는 아래와 같습니다. 

선분 AB의 중점 M의 좌표는 m=n인 경우이므로 아래와 같습니다.

4. 좌표평면 위의 선분의 외분점

그림은 생략하겠습니다. 3번과 같은 원리로 외분점 Q의 좌표는 아래와 같습니다.