본문 바로가기
반응형

분류 전체보기694

[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (44) 부정방정식 부정방정식 부정방정식은 무언가를 '부정'하는 방정식이 아닙니다. 정해지지 않았다는 의미의 부정방정식입니다. 영어로는 indeterminate equation입니다. 근이 정해지지 않는 이유가 뭘까요. 일차식에서 계수와 상수항이 모두 0인 경우에 그랬었습니다. 0x=0형태이면 x가 무수히 많았습니다. 또 다른 경우도 있는데요. 미지수의 개수가 식 보다 많은 경우가 그렇습니다. 오늘은 미지수의 개수가 식 보다 많은 경우에 대해 공부해보겠습니다. 예를들면 아래와 같은 식입니다. 아래와 같이 묶어줄 수 있구요. 인수분해가 가능합니다. 위 식의 근이 무수히 많기 때문에 답을 구하는 문제를 만들 수가 없습니다. 따라서 이런 조건을 추가해줍니다. "x,y가 정수일 때" 따라서 (x-2)와 (y+x-1) 은 (3,1).. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (43) 공통근 문제 공통근 문제 두 이차식이 공통근을 갖는 경우, 공통근을 이용해서 연립방정식 문제를 만들 수 있습니다. 아래 두 이차식이 있다고 해봅시다. 연립방정식 문제를 만들기 위해서 계수에 미지수 k를 넣어놓은 거에요. 그럼 이렇게 문제를 낼 수 있습니다. 두 이차식의 공통근이 존재하는 경우 k를 구하시오. 공통근을 α라고 한다면 위 두 식의 x자리에 넣어줄 수 있습니다. 미지수가 두개인 이차연립방정식이 됐습니다. 2차식을 소거하는 방식으로 풀면 되겠네요. 소거해봅시다. 인수분해해줍니다. k=3 또는 α=-1 입니다. 두가지 경우로 나눠서 풀어봅시다. 1) k=3인 경우 두 이차식이 같아집니다. 따라서 공통근이 존재하는겁니다. k=3이 하나의 답이됩니다. 2) α=-1인 경우 첫번째 식의 x자리에 대입합시다. k=-.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (42) 연립이차방정식(대칭형) 연립이차방정식(대칭형) 연립이차방정식 중 특수한 유형입니다. 근과 계수의 관계로 푸는 유형입니다. 방정식들이 두 미지수의 합, 곱, 합과 곱이 연립된 형태로 되어있습니다. 예를들면 아래와 같은 유형입니다. x와 y를 어떤 이차방정식의 두 근이라고 한다면 두근의 합은 x+y=a, xy=b라고 놓을 수 있습니다. 두근의 곱인 xy=3으로 알고있는 상태인거죠. 이때, 첫번째 은 두 근의 합과 곱의 형태로 나타낼 수 있습니다. 위 식에서 a가 구해집니다. a=4,-4 1) a=4인 경우 x+y=4 , xy=3 인 연립방정식을 풀면 됩니다. 2) a=-4인 경우 x+y=-4 , xy=3 인 연립방정식을 풀면 됩니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (41) 연립이차방정식(이차+이차) 연립이차방정식(이차+이차) 연립이차방정식 에서 두 식이 모두 이차식인 경우입니다. 세가지 유형이 있는데, 하나씩 공부해보겠습니다. 1. 한 식이 인수분해되는경우 두 식중 한 식이 인수분해가 된다면, 인수분해 된 식을 다른 식에 대입해주는 것으로 미지수를 줄일 수 있습니다. 예를들어봅시다. 첫번재 식을 인수분해합시다. 따라서 두가지 등식을 얻을 수 있습니다. x=4y, x=-2y 얻은 등식을 두번째 식에 대입합시다. 1) x=4y를 대입하는 경우 두개의 y값이 구해집니다. 이 y값을 x=4y에 넣으면 두 쌍의 해를 구할 수 있습니다. 2) x=-2y를 대입하는 경우 두개의 y값이 구해집니다. 이 y값을 x=-2y에 넣으면 두 쌍의 해를 구할 수 있습니다. 따라서 총 네 쌍의 해가 구해집니다. 2. 두 이차.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (40) 연립이차방정식(일차+이차) 연립이차방정식(일차+이차) 연립이차방정식은 최고차항이 이차인 연립방정식입니다. 고등학교 과정에서는 미지수가 2개인 경우만 다룹니다. 미지수가 2개이므로, 식도 2개가 주어집니다. 오늘 다룰 연립이차방정식은 하나의 식은 일차식, 다른 하나의 식은 이차식인 경우입니다. 풀이방법은 간단합니다. 일차식을 한 문자에 대해 정리하고 이차식에 대입하는 것입니다. 예를들어봅시다. 첫번째 식을 x=3-y로 변형하고 두번째 식에 대입해줍니다. 전개하고 y를 구해줍니다. y=3,-1입니다. 따라서 근이 두쌍이 나옵니다. y=3, x=0y=-1, x=4 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (39) 연립일차방정식 연립일차방정식 연립일차방정식을 풀기 위해서는, 미지수의 개수 만큼 식이 있어야 합니다. - 미지수가 1개, 식이 1개 → 일차방정식- 미지수 2개, 식이 2개 → 미지수가 2개인 연립일차방정식- 미지수 3개, 식이 3개 → 미지수가 3개인 연립일차방정식 미지수가 4개부터는 손으로 풀기가 어려워집니다. '선형대수'라는 대학과목에서 역행렬을 이용해서 푸는데요. 고등학교 과정에서는 다루지 않습니다. 아래와 같이 미지수가 3개인 연립방정식을 고려해봅시다. 미지수가 3개인 연립일차방정식의 풀이 방법은 이렇습니다. 미지수 하나를 소거하고, 미지수가 2개인 연립일차방정식을 만들고 풀어줍니다. 계산된 두 미지수를 대입하여 나머지 한 미지수를 구하는 것입니다. 첫번째 식과 두번째 식을 더하면 아래 식이 나옵니다. 두번째.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (38) x³=±1 의 허근 의 허근 1. 의 허근 아래와 같은 삼차식을 고려해봅시다. 1을 이항하고 인수분해 해봅시다. (x-1)에서 실근 1을 갖구요. 2차식의 근을 구해봅시다. 두 허근을 갖네요. 두 허근을 라고 합시다. 이때 몇가지 수식을 만들 수 있습니다. (1)(2) 여기까지는 그냥 대입한 수식입니다. 이제 근과 계수와의 관계를 이용해서 두가지 식을 더 만들어봅시다. (3) (4) 이번에는 지금까지 유도한 식들을 연립해서 몇가지 식을 더 만들거에요. (4)번식의 양변에 오메가 제곱을 곱해봅시다. (1)번식에 의해 오메가 세제곱은 1입니다 따라서 아래 등식이 성립합니다. (4)번식의 양변을 오메가로 나눠봅시다. 위 식과 같이 쓰면 아래 등식을 얻을 수 있습니다. (5) 2. 의 허근 아래와 같은 삼차식을 고려해봅시다. 1을.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (37) 삼차방정식의 켤레근 삼차방정식의 켤레근 아래와 같은 삼차방정식이 있다고 해봅시다. 두가지 경우로 나눠서 설명하겠습니다. 1. 모든 계수가 유리수인 경우 q는 0이 아닌 유리수이고, 삼차방정식이 이라는 근을 갖는다면, 반드시 켤레근 을 갖습니다. 왜그런지 증명해봅시다. 모든 계수가 유리수인 삼차방정식 중 를 근으로 갖는 경우를 살펴봅시다. 1) 세 근이 모두 형태 계수에 무리수가 생기므로 해당사항 없음 2) 두 근이 형태이고 한 근이 유리수 유리수인 근을 α라고 한다면, 아래와 같이 인수분해됩니다. 두 근은 이차식에서 구해진 근이므로, 서로 켤레근관계여야 합니다. 따라서 를 갖는다면 켤레근 를 갖습니다. 3) 한 근이 형태이고 두 근이 유리수 두 유리수 근을 α, β라고 한다면 아래와 같이 인수분해됩니다. 전개하면 계수에 무.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (36) 삼,사차방정식의 근과 계수의 관계 삼차방정식의 근과 계수의 관계 아래와 같은 삼차방정식이 있습니다. 이 삼차방정식의 세 근을 라고 한다면 아래와 같이 인수분해 됩니다. 번거롭지만, 전개해서 첫번째 식과 비교해보겠습니다. 계수를 비교해서 정리하면 아래와 같습니다. 위 세가지 식이 삼차방정식의 근과 계수의 관계입니다. 외우면 금방 까먹으니까. 여러번 전개해 보시고, 전개 과정을 머리 속에 넣어두세요. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (35) 삼,사차방정식의 정의와 풀이 삼,사차 방정식의 정의와 풀이 삼차방정식은 차수가 3차인 방정식이구요. 4차방정식은 차수가 4차인 방정식입니다. x에 대한 방정식만 다루고 있으니까. 차수는 x의 차수를 의미합니다. 삼,사차방정식의 경우는 인수분해가 되지 않으면 해를 구할 수가 없습니다. 삼차방정식 근의 공식이 있긴 한데 고등학교 범위를 벗어나요. 따라서 인수분해가 되는 식들만 나오겠죠? 삼차식 인수분해 방법은 이미 배웠습니다. 조립제법을 이용하거나, 직관적 계수비교법을 통해 인수분해하시면 됩니다. 1) 삼차방정식의 풀이 간단한 예를 들어봅시다. 먼저 6의 약수인 1,2,3,6,-1,-2,-3,-6을 대입해서 인수를 찾습니다. 1을 넣으면 0이죠? 따라서 (x-1)을 인수로 갖습니다. 인수분해를 합시다. 근은 1,-3,2 입니다. 사차식.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (34) 이차함수의 최대,최소(심화) 이차함수의 최대,최소(심화) 이차함수의 최대,최소값의 심화버젼입니다. 기본버젼에서는 x에 대해 완전제곱식으로 묶고 그래프만 그려주면 쉽게 구할 수 있었는데요. 심화버젼은 조금 더 복잡해집니다. 크게 두가지 유형으로 나눌 수 있어요. 하나씩 살펴봅시다. 1) 문자가 2개 문자가 2개인 경우인데 각각 완전제곱식으로 정리하면 됩니다. 예를들어봅시다. 최솟값을 구해야하는 경우입니다. 완전제곱식으로 묶어볼게요. 제곱식은 항상 0과 같거나 크니까. 0일때가 최소입니다. 따라서 최솟값은 -4입니다. 2) 치환 제곱해서 계산하면 4차식이 되는 경우입니다. 공통부분인 2차식을 치환해서 생각해주어야 합니다 . 공통부분을 t로 치환해봅시다. 여기서 중요한 과정이 있습니다. t의 범위를 구해줘야 합니다. 아래와 같이 완전제곱.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (33) 이차함수의 최대,최소(기본) 이차함수의 최대,최소(기본) 이차함수의 최대, 최소(기본)에 대해 공부해봅시다. 내용이 좀 많아서 기본과 심화로 나누어 놓았습니다. 먼저 이차함수 y=ax²+bx+c 는 아래와 같이 완전제곱식 형태로 변형이 가능합니다. y=a(x-m)²+n a의 부호에 따라 아래 그림처럼 두가지 형태를 갖죠. a가 0보다 크면 아래로 볼록이기 때문에 꼭지점에서 최솟값을 같습니다. 최댓값은 있을까요? 무한이 커질 수 있기 때문에 최댓값은 없습니다. a가 0보다 작으면 위로 볼록이니까 최댓값을 갖죠? 최솟값은 없습니다. 무한히 작아질 수 있기 때문이에요. 만약 x가 특정 범위 d 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (32) 실근의 개수(방정식과 함수) 실근의 개수(방정식과 함수) 실근의 개수(방정식과 함수)에 대해 공부해봅시다. 방정식 f(x)와 g(x)가 있다고 해봅시다. 두 방정식은 y=f(x)와 y=g(x)라는 함수로 해석할 수도 있습니다. 따라서, 방정식 f(x)=g(x)의 근은 y=f(x)와 y=g(x)의 그래프 상의 교점으로 이해할 수 있습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (31) 이차함수와 직선 이차함수와 직선 이차함수와 직선에 대해 공부해봅시다. 이차함수와 직선은 만나거나 만나지 않거나 두가지 관계가 있습니다. 만나는 경우는 한점에서 만날 수도 있고 두 점에서 만날 수도 있겠죠? 한 점에서 만나는 것은 ‘접한다’고 표현합니다. 아래와 같이 이차함수와 직선이 주어졌다고 해봅시다. 둘의 관계를 알고 싶을 때, 그래프를 그려서 만나는지 아닌지 확인하는 방법이 있을거에요. 번거롭죠? 좀 더 쉬운 방법을 알려드리려고 합니다. 두 그래프가 만약 만난다면 이차함수와 직선의 함수 값이 같아지는 x가 존재하겠죠? 따라서 아래 식의 근이 존재할 것입니다. 좀 더 보기 좋게 정리하면 아래와 같은 이차방정식이 됩니다. 이차함수와 직선의 위치관계가 이차방정식의 근의 존재를 묻는 문제로 바뀌었습니다. 아래와 같이 정리.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (30) 이차함수와 x축 이차함수와 x축 이차함수와 x축에 대해 공부해봅시다. 이차함수와 x축은 만나거나 만나지 않거나 두가지 관계가 있습니다. 만나는 경우는 한점에서 만날 수도 있고 두 점에서 만날 수도 있겠죠? 한 점에서 만나는 것은 ‘접한다’고 표현합니다. 아래와 같은 이차함수가 주어졌을 때, x축과 의 관계를 알고 싶다면 어떻게 하면 될까요. 꼭지점을 구해서 그래프를 그릴 수도 있긴 한데, 더 쉬운 방법이 있습니다. 판별식을 이용하는 것입니다. x축과 두 점에서 만난다면 근 2개를 갖는 거니까 판별식이 양수입니다. x축과 한 점에서 만나는 경우는 판별식이 0이면 되겠죠. 만나지 않을 때는 판별식이 음수구요. 정리하면 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (29) 이차함수와 이차방정식 이차함수와 이차방정식 이차함수와 이차방정식에 대해 공부해봅시다. 이차함수 에서 y가 0이라고 가정해봅시다. 그럼 이차함수는 아래와 같이 바뀝니다. 이차방정식이 됐죠? 이차방정식은 이차함수에서 y=0 인 특수한 경우라고 생각할 수 있습니다. 이제 위 내용을 좌표평면상에서 이해해봅시다. 간단한 내용이니 그래프를 그리지는 않을게요. 이차함수 인 곡선과 y=0인 직선의 그래프가 있다고 해봅시다. 두 그래프가 만난다면 만나는 점을 어떻게 구할까요? 연립하면 아래와 같은 식이 나오죠? 이차방정식은 이차함수 와 직선 y=0의 교점을 구하는 방정식으로 이해할 수도 있습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (28) 이차함수 만들기(조건) 이차함수 만들기(조건) 이차함수 만들기(조건)에 대해 공부해봅시다. 특정 조건이 주어졌을 때, 이차함수를 만드는 방법에 대한 내용이에요. 네 가지가 있는데 항목을 나눠서 설명드릴게요. 1) x²의 계수(a), 꼭지점의 좌표(m,n)를 아는 경우 꼭지점의 좌표를 구할 때 완전제곱식을 만들죠? 이차함수의 일반형으로 완전제곱식을 만들면 아래와 같습니다. 이 식에 그냥 대입하시면 됩니다. 2) x²의 계수(a), x축과의 교점 (α,0), (β,0) 을 아는 경우 x축과의 교점은 함수 값을 0으로 만드는 근입니다. 따라서 함수는 (x-α) 와 (x-β) 를 인수로 갖습니다. 아래와 같은 식을 만족하겠죠? 대입하시면 됩니다. 3) x²의 계수(a), x=m에서 x축에 접하는 경우 을 x축으로 m만큼 이동시킨 함수.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (27) 이차함수의 계수와 그래프 이차함수의 계수와 그래프 이차함수의 계수와 그래프에 대해 공부해봅시다. 이차함수의 계수의 부호에 따라 그래프가 어떻게 변하는지 공부할 거에요. 아래와 같이 이차함수가 있다고 해봅시다. 1) a의 부호는 그래프의 어떤 영향을 줄까요? 이전 모듈에서 다들 배워서 알고 있을 거에요. a가 양수이면 그래프는 아래로 볼록이고 음수이면 위로 볼록입니다. 2) b의 부호가 단독으로 그래프에 영향을 주지는 않지만 a와 함께 그래프에 영향을 줍니다. 위 이차함수를 아래와 같이 변형해봅시다. 대칭축의 방정식을 알 수 있죠? 대칭축의 방정식은 x=-b/2a 입니다. a,b,의 좌표가 대칭축의 위치를 결정합니다. a,b의 부호가 다르면 대칭축이 양수죠? 대칭축이 y축 오른쪽에 있습니다. a,b의 부호가 같으면 대칭축이 음수입.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (26) 이차함수의 정의,그래프,평행이동 이차함수의 정의,그래프,평행이동 이차함수의 정의와 그래프에 대해 공부해봅시다. 먼저 2차함수의 정의를 알아봅시다. “최고차항이 2차인 다항함수”“종속변수 y가 독립변수 x의 이차식으로 표현되는 함수”“f(x)가 x의 이차식으로 표현되는 함수” 다 같은 말입니다. 이차함수의 기본형은 아래와 같습니다. 이번에는 그래프를 그려봅시다. 가장 간단한 형태부터 출발하죠. 이차함수를 설명하는 두가지 용어를 소개해드릴게요. 꼭지점과 축의방정식입니다. 꼭지점은 꼭지처럼 튀어나온 부분을 의미합니다. 한눈에 보이시죠? 위 그래프에서 꼭지점은 (0,0)입니다. 축의방정식은 그래프를 절반으로 나누는 직선입니다. 위 그래프에서는 x=0 이라는 직선이 축의방정식입니다. 의 계수가 양수인 경우에는 그래프가 아래로 볼록으로 그려집니다.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (25) 가우스함수와 그래프 가우스함수와 그래프 이번 모듈에서는 가우스함수에 대해 공부해봅시다. [x] 에 대해서는 이미 알고 있는 상태여야 합니다. 가장 기본적인 형태인 y=[x]의 그래프를 그려봅시다. 범위에 따라서 y값이 달라집니다. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 이번에는 x의 계수가 1이 아닌 경우를 생각해보죠. y=[3x] 함수의 범위를 나눠봅시다. 어렵지 않으시죠? 정수가 되는 값을 기준으로 나누면 됩니다. 일반화 시켜보죠. 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (24) 절댓값함수와 그래프(절댓값 두개 이상) 절댓값함수와 그래프(절댓값 두개 이상) 절댓값 함수와 그래프(절댓값 2개 이상)에 대해 공부해봅시다. 먼저 절댓값이 하나인 일차함수를 그리는 것을 복습해봅시다. y=|x-a|+k x가 a보다 클 때와 작을 때로 나눠서 각각 그래프를 그려주면 됩니다. 쉽게 그리는 방법은 (a,k)라는 점을 찍고 v를 그려주면 됩니다. 기울기는 x의 계수에 따라 달라지겠죠. 이번에는 절댓값이 두개인 경우를 그려봅시다. a 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (23) 절댓값함수와 그래프(대칭이동) 절댓값함수와 그래프(대칭이동) 절댓값 함수와 그래프(대칭이동)에 대해 공부해봅시다. 대칭이동을 이용해서 절댓값 함수 그래프를 조금 쉽게 그릴 수 있는 방법입니다. 단, 앞으로 설명드릴 네 가지 경우에만 사용 가능합니다. 1. f(x)에 통째로 절댓값이 씌워져 있는 경우 ( y=|f(x)| ) 함수를 보시면, y값이 무조건 양수입니다. y=f(x)에서 y가 음수인 부분이 전부 양수로 바뀌게 되겠죠? 아래와 같이 그려주시면 됩니다. 2) x에만 절댓값이 씌워져 있는 경우 ( y=f(|x|) ) x에 절댓값이 씌워져 있다는 것은, x가 음수일 때의 y 값이, x가 양수일 때와 동일하다는 의미입니다. 따라서 x가 양수인 부분을 y축 대칭해서 그려주면 됩니다. 3) y에만 절댓값이 씌워져 있는 경우 ( |y|=f.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (22) 절댓값함수 절댓값함수 절댓값 함수에 대해 공부해봅시다. 절댓값 함수라는 공식적인 명칭은 없습니다. 절댓값 기호를 포함한 함수를 ‘절댓값 함수’라고 부르기로 합시다. 그래프를 그리는 방법은 간단합니다. 절댓값을 0으로 만드는 x 또는 y값을 기준으로 범위를 나누고 각 범위에서 그래프를 그리면 됩니다. 몇가지 예시를 통해 공부해봅시다. 먼저 x에 절댓값이 씌워져 있는 경우입니다. 이번에는 y에 절댓값이 씌워진 경우를 보죠. 좀 귀찮아서 그렇지 어렵지는 않습니다. 꼭 손으로 직접 그려보세요. 다음시간서는 대칭이동을 이용해서 그래프를 쉽게 그리는 방법을 공부해보겠습니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (21) 일차함수 일차함수 일차함수에 대해 공부해봅시다. 먼저 일차함수를 포함하고 있는 더 큰 개념인 ‘다항함수’에 대해서 알아봅시다. 고등교육과정에서는 정의역이 x 한 가지인 함수만 다루기 때문에 ‘x에 대한 다항함수’를 ‘다항함수’로 부르겠습니다. 다항함수의 정의는 아래와 같습니다. “치역의 원소가 x에 대한 다항식으로 정의되는 함수” 수식으로 표현하면 이해가 쉬울 것입니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 일차함수는 다항함수 중에서 차수가 1차인 함수입니다. 이번에는 그래프를 그려봅시다. 잠깐 함수와 그래프에 대한 이야기를 하고 넘어갑시다. 모든 함수를 그래프로 나타낼 수 있는 것은 아닙니다. 정의역이 x,z,w,p 네 종류이고 치역이 f(x.z,w,p) 라면 좌표 평면에(좌표 공간 일지라도) 그래프를 그릴 수 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (20) 이차방정식의 실근의 부호 이차방정식의 실근의 부호 1. 두 근이 모두 양수일 조건 이차방정식의 두 근이 모두 양수이기 위한 조건입니다. 어떤 조건을 찾는건지 먼저 알아야 해요. 계수의 조건을 찾는 것입니다. 예를 들면 이런 문제입니다. 에서 두 근이 모두 양수일 조건을 고르시오. 답은 k의 범위가 됩니다. 일단 두 근이 존재해야 합니다. 판별식 D가 0보다 커야 하죠. 그리고 두 근이 양수니까 두 근의 합이 양수, 두 근의 곱이 양수겠죠? 근과 계수의 관계를 이용해서 두근의 합과 곱이 양수라는 조건을 추가해주시면 됩니다. 이제 찾은 조건들을 이용해서 k의 범위를 구하면 답입니다. 아래 그림에 구하는 과정을 나타냈습니다. K의 범위는 -40인 조건이 필수적이다. 부호만 다르면 되기 때문에 두 근의 합은 음수가 될 수도 있고 0이 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (19) 켤레근의 성질 켤레근의 성질 켤레근의 성질에 대해 공부해봅시다. 먼저 아래의 근의공식을 봅시다. 근이 쌍을 이루고 있는 것을 알 수 있습니다. 이런 근이 켤레근입니다. 켤레근 자체를 이해하는 것은 매우 간단합니다. 중요한 내용은 따로 있는데 뒤에서 다루기로 하고, 일단 예를 하나 들어볼게요. 의 근을 구하면 아래와 같습니다. 둘의 관계는 켤레근입니다. 중요한 질문을 하나 해보겠습니다. 그렇다면, 만약 어떤 이차함수의 한 근이 일 때, 다른 한 근은 라고 할 수 있을까요? 정답은 ‘No’ 입니다. 반례가 있는데 그 반례를 말씀드리겠습니다. 의 두 근을 구하면 아래와 같습니다. 한 근이 인데 다른 한 근이 이 아니라 입니다. 왜 이런 일이 발생했을까요? 이유는’계수’입니다. 이차함수의 계수가 무리수이기 때문에 이런 일이 .. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (18) 근과 계수의 관계 활용 근과 계수의 관계 활용 1. 다항식 2. 방정식과 부등식01. 복소수02. 일차, 이차방정식(9) 일차방정식의 정의와 풀이(10) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값 1개)(11) 절댓값기호를 포함한 일차방정식(절댓값 2개)(12) 이차방정식의 정의와 풀이(인수분해)(13) 이차방정식의 풀이(근의 공식)(14) 가우스기호를 포함한 이차방정식(15) 이차방정식의 판별식(16) 이차식의 완전제곱식(17) 근과 계수의 관계(18) 근과 계수의 관계 활용(19) 켤레근의 성질(20) 이차방정식의 실근의 부호03. 일차, 절댓값, 가우스함수04. 이차함수와 그 활용05. 고차방정식06. 연립방정식07. 여러가지 부등식3. 도형의 방정식 근과 계수의 관계의 활용에 대해 공부해봅시다. 두가지 주제를 다룰거에요. 하.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (17) 근과 계수의 관계 근과 계수의 관계 근과 계수의 관계에 대해 공부해봅시다. 아래와 같은 이차방정식의 일반형에서 출발합니다. 이차방정식의 두 근이 α, β 일 때, 이 두 근과 계수 a,b,c 사이에 어떤 관계가 있는지 공부할 것입니다. 근의 공식으로 근을 구하면 아래와 같습니다. 간단합니다. 둘을 더해볼게요. 두근의 합이 계수 a 와 b로 표현되었습니다. 이번에는 두 근을 곱해봅시다. 두 근의 곱이 계수 a와 c로 표현되었습니다. 마지막으로 두 근의 차를 구해봅시다. 근과 계수와의 관계 중 두 근의 합과 곱은 실근, 허근 상관없이 성립합니다. 하지만 두 근의 차는 실근에서만 성립하는 성질입니다. 왜냐하면 ‘절댓값’이 들어가기 때문입니다. 허수는 부호가 없죠. 따라서 절댓값을 정의할 수가 없습니다. 두 근의 차에 대한 공식.. 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (16) 이차식의 완전제곱식 이차식의 완전제곱식 이차식이 완전제곱식이 되기 위해 어떤 조건이 필요한지 공부해봅시다. 이차식의 일반형을 완전제곱식으로 만드는 과정을 아래 그림에 나타내었습니다. 0이 되어야 하는 식에서 분자에 있는 식이 0이 되면 됩니다. 따라서 가 0이면 됩니다. 판별식이죠? 정리해봅시다. 가 완전제곱식이 되기 위한 조건은 D=0 입니다. 전체 모듈 한눈에보기 링크 2018. 10. 8.
[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (15) 이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식 이차방정식의 판별식에 대해 공부해봅시다. 이차방정식의 근을 구하지 않은 상태에서 근의 개수를 알아내는 방법입니다. 근의 개수를 ‘판별’해 준다는 의미로 ‘판별식’이라고 부릅니다. 판별식은 근의 공식 속에 숨어있습니다. 아래 근의 공식을 보시죠. 기본적으로 이차방정식은 두개의 근을 갖습니다. 그런데 만약 루트 안에 있는 식 가 0 이 된다면 어떨까요. 두 근이 같아지게 되죠? 따라서 이차방정식은 하나의 근을 갖게 됩니다. 이 근을 ‘중근’이라고 부릅니다. 근이 중복되었다는 뜻입니다. 이번에는 가 0보다 작게 되면 어떨까요. 루트 안이 음수니까 허수가 됩니다. 이차방정식은 두개의 허근을 갖게 되죠. 이렇게 의 부호만 알면 이차방정식의 근의 개수를 알 수 있습니다. 이 식이 바로 판별식입니.. 2018. 10. 8.
반응형

티스토리툴바