[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (53) 이차방정식의 근의 위치

이차방정식의 근의 위치

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이차방정식의 근의 위치는 네가지가 있습니다. 

1. 두 근이 p보다 크다

2. 두 근이 p보다 작다

3. 두 근 사이에 p가 있다

4. 두 근이 p와 q 사이에 있다.

이차항의 계수는 양수라고 가정하구요(음수면 -1 곱하면되므로 모든 경우를 포함하는 것임). 이차방정식은 아래와 같습니다. 

하나씩 자세히 살펴봅시다. 

1. 두 근이 p보다 클 조건

일단 두 근을 가져야합니다. 따라서 아래 조건이 필요합니다.

왜 같거나 크다냐구요? '서로 다른' 두 근이라고 한 적이 없기 때문입니다. 따라서 중근도 포함됩니다. 두 근이 p보다 크기 때문에, 대칭축도 p보다 클 것입니다. 

완전제곱식을 만들면 대칭축을 구할 수 있습니다. 

대칭축이 p보다 크다는 조건을 추가합시다.

하지만 이 조건만으로는 부족합니다. 대칭축이 p보다 커도, 작은근 α가 p보다 작아질 수 있기 때문입니다. α가 p보다 크다는 것이 보장되려면 f(p)가 0보다 크면 됩니다. 따라서 아래 조건이 추가됩니다.

2. 두 근이 p보다 작을 조건

일단 두 근을 가져야합니다. 따라서 아래 조건이 필요합니다.

왜 같거나 크다냐구요? '서로 다른' 두 근이라고 한 적이 없기 때문입니다. 따라서 중근도 포함됩니다. 두 근이 p보다 작기 때문에, 대칭축도 p보다 작을 것입니다. 

완전제곱식을 만들면 대칭축을 구할 수 있습니다. 

대칭축이 p보다 작다는 조건을 추가합시다.

하지만 이 조건만으로는 부족합니다. 대칭축이 p보다 작아도,  큰근 β가 p보다 커질 수 있기 때문입니다. α가 p보다 크다는 것이 보장되려면 f(p)가 0보다 크면 됩니다. 따라서 아래 조건이 추가됩니다.

3. 두 근 사이에 p가 있을 조건

하나의 조건이면 충분합니다. 

아래로 볼록인 이차함수가 p일 때 음수값을 갖는다면, p 양쪽에서 반드시 근을 갖습니다.  

4. 두 근이 p와 q 사이에 있을 조건

일단 두 근을 가져야합니다. 따라서 아래 조건이 필요합니다.

왜 같거나 크다냐구요? '서로 다른' 두 근이라고 한 적이 없기 때문입니다. 따라서 중근도 포함됩니다. 두 근이 p와 q 사이에 있기 때문에, 대칭축도 p와 q 사이에 있을 것입니다. 

완전제곱식을 만들면 대칭축을 구할 수 있습니다. 

대칭축이 p와 q 사이에 있다는 조건을 추가합시다. 

하지만 이 조건만으로는 부족합니다. 대칭축이 p와 q 사이에 있더라도, α가 p보다 작아질 수 있고 β가 q보다 커질 수 있습니다. 따라서 아래 조건을 추가해야 합니다. 

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