[모듈식 수학 (상)] 2. 방정식과 부등식 (51) 이차부등식이 항상 성립할 조건

이차부등식이 항상 성립할 조건

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이차부등식은 아래와 같이 네가지 형태가 있었습니다. 

이 부등식이 항상 성립할 조건을 하나씩 살펴봅시다.

1. 

먼저 a가 음수라고 가정해봅시다. 이차함수는 위로 볼록이 됩니다. 위로볼록인 이차함수가 항상 0보다 클 수 있을까요? 불가능합니다. 따라서 a는 양수여야 합니다. 이제 함수가 아래로 볼록이 되었습니다. 아래로 볼록인 이차함수가 항상 양수이려면 근이 없어야 합니다. x축 위로 떠있어야 합니다. 따라서 아래 두 조건이 성립해야 합니다. 

2. 

1번 경우와 동일한데 같다는 기호가 추가되었습니다. 따라서 x축에 접할때(함수값이 0일때)도 성립하게 됩니다. 조건이 아래와 같이 바뀝니다. x축에 접할때는 근이 1개인 경우니까 D=0을 추가해주면 됩니다. 

3. 

a가 양수라고 가정해봅시다. 아래로 볼록이죠? 아래로 볼록인 이차함수가 항상 0보다 작도록 만들 수는 없습니다. 아무리 아래로 내리고 또 내려도 양쪽 끝은 무한대로 발산하기 떄문에 언젠간 0보다 커지게 되죠. 따라서 a는 음수여야합니다. 이제 위로볼록이 되었습니다. 위로볼록인 이차함수가 항상 0보다 작으려면 근이 없어야 합니다. 따라서 아래 조건이 성립해야합니다. 

 

4. 

3번 경우와 동일한데 같다는 기호가 추가되었습니다. 따라서 x축에 접할때(함수값이 0일때)도 성립하게 됩니다. 조건이 아래와 같이 바뀝니다. x축에 접할때는 근이 1개인 경우니까 D=0을 추가해주면 됩니다. 

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