자코비안의 이해 (1) 변환과 선형변환

변환이란?

uv 평면에서 xy 평면으로 가는 변환 T가 있다고 합시다. 수식으로는 아래와 같이 표현됩니다. 

$T(u,v)=(x,y)$

아래와 같이 x와 y를 $(u,v)$에 대한 함수로 나타낼 수도 있습니다. 

$x=f(u,v)$

$y=g(u,v)$

먼저 몇가지 용어들을 배워봅시다. 여기저기서 자주 보게되실 용어들입니다. 

1) $C_{1}$변환 : 함수 f와 g가 연속이고 1차 편미분을 가진다면, 변환 T를 $C_{1}$변환이라고 부름

2) 상(image) : 변환 T에 의해 $(u_{1},v_{1})$이 $(x_{1},y_{1})$으로 변환되는데 이 때, $(x_{1},y_{1})$을 $(u_{1},v_{1})$의 상이라고 부름

3) 일대일 변환 : 어떤 두 점도 같은 상(image)을 갖지 않을 때, 변환 T를 일대일변환이라고 부름

일대일 변환에는 역변환이 존재합니다. T의 역변환은 아래와 같습니다. 

$T^{-1}(x,y)=(u,v)$

 

변환의 예시

변환의 간단한 예를 들어봅시다. uv 평면에 아래와 같은 영역이 있다고 합시다. 

 

위 영역에 아래와 같은 변환을 적용해봅시다. 

$x=2u$

$y=2v$

선형변환이기 때문에 변환을 행렬로 나타낼 수 있습니다. 

$\begin{bmatrix}
2 & 0\\ 
0 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u\\ 
v
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x\\ 
y
\end{bmatrix}$

위 영역은 아래와 같이 변환됩니다.

 

 

 

선형변환의 일반형

uv 평면에서 xy 평면으로의 변환 중에서 선형변환만을 고려해봅시다. 모든 선형변환을 표현할 수 있는 일반적인 형태는 아래와 같습니다. 

$x=au+bv$
$y=cu+dv$

행렬형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

$\begin{bmatrix}
x\\ 
y
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u\\ 
v
\end{bmatrix}$

곱해진 행렬을 변환행렬이라고 부릅니다. 변환행렬의 행렬식에는 특별한 의미가 있는데요. 다음시간에 알아봅시다.