[고급 행렬 연산] 9. 두 벡터로 만든 평행사변형의 넓이

편의상 벡터의 화살표 기호는 생략하겠습니다. 영어 소문자가 벡터, 그리스문자가 상수입니다. 

두 벡터 a와 b가 있다고 합시다. 벡터 a를 벡터 b로 만들어지는 평행사변형의 넓이를 구해봅시다. 

위 그림에서 평행사변형의 넓이를 S라고 놓는다면 아래 등식이 성립합니다. 

$S^2=\left | b \right |^2 \left | u \right |^2$

u는 아래와 같이 계산됩니다. 

$u=a-\frac{a^T b}{b^T b}b$

$\left | u \right |^2$는 아래와 같이 구할 수 있습니다. 

$\left | u \right |^2=u^T u=\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )^T\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )$

전치행렬을 계산합니다. 

$\left | u \right |^2=u^T u=\left ( a^T-\frac{a^T b}{b^T b}b^T \right )\left ( a-\frac{a^T b}{b^T b}b \right )$

괄호를 전개합니다. 

$\left | u \right |^2=u^T u=a^Ta-\frac{a^T b}{b^T b}a^T b-\frac{a^T b}{b^T b}b^T a+\left ( \frac{a^T b}{b^T b} \right )^2b^T b$

아래와 같이 변형합니다. 

$\left | u \right |^2=u^T u=a^Ta-\frac{\left ( a^T b \right )^2}{b^T b}-\frac{\left ( a^T b \right )^2}{b^T b}+\frac{\left ( a^T b \right )^2}{b^T b}$

아래와 같이 계산해줍니다. 항이 소거됩니다. 

$\left | u \right |^2=u^T u=a^Ta-\frac{\left ( a^T b \right )^2}{b^T b}$

$S^2=\left | b \right |^2 \left | u \right |^2$ 이므로 위 식에 $\left | b \right |^2$ 를 곱하면 됩니다. \left | b \right |^2 은 $b^T b$ 입니다. 따라서 $S^2$은 아래와 같습니다. 

$S^2=(a^T a)(b^T b) -\left ( a^Tb \right )^2$