컨볼루션 적분(합성곱) 쉽게 이해하기

두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 있을 때, 두 함수의 합성곱은 아래와 같이 정의됩니다.

$\left ( f\ast g \right )(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(t-x)dx$

식만봐서는 잘 와닿지 않은데 간단한 예제를 풀고 나면 의미가 이해되실 겁니다. 쉬운 예제를 하나 풀어봅시다. 함수 $f(x)$와 $g(x)$의 합성곱을 구하는 예제입니다.

함수 $f(x)$와 $g(x)$를 아래와 같이 놓겠습니다. 그래프가 없는 나머지 영역에서의 함수값은 0입니다.

컨볼루션 적분을 위해 $g(t-x)$ 를 그려야합니다. $g(x)$를 y축 대칭하고 x축으로 t만큼 평행이동한 그래프입니다. 아래와 같습니다.

t의 번위에 따라 몇가지 경우로 나눠서 f(x)와 g(x)를 하나의 좌표평면에 그려보겠습니다.

1) $t \leq 0$

t가 음수인 경우의 그래프는 아래와 같습니다.

g(x)와 f(x)의 겹치는 부분이 없습니다. 따라서 둘의 곱은 모든 x 영역에서 항상 0입니다. 따라서 합성곱도 0입니다.

t가 0보다 크고 4보다 작은 경우의 그래프는 아래와 같습니다.

g(x)와 f(x)의 겹치는 부분이 있습니다. 겹치는 부분에서 두 함수의 곱을 적분한 결과가 합성곱입니다. 위 예제에서는 $f(x)$의 값이 1이므로, 곱한 결과는 g(x)와 같습니다. 따라서 위 그림의 색칠한 부분의 넓이가 합성곱입니다.

$g(x)$와 $f(x)$의 겹치는 부분이 다시 사라집니다. 합성곱은 0이 됩니다.