[벡터의 회전과 행렬] (1) 2차원 평면

벡터의 회전은 벡터의 행렬을 곱하는 것으로 나타낼 수 있습니다. 어떻게 그럴 수 있는지 알아봅시다. 

 

x축과의 각도가 $\alpha$ 인 벡터 $(a,b)$를 $\theta$ 만큼 회전한 벡터를 $(c,d)$ 라고 합시다. 두 벡터의 관계를 $\theta$ 에 대해 나타내 볼 것입니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

벡터의 길이를 r이라고 했을 때 a와 b를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$r\cos \alpha =a$

$r\sin \alpha =b$

 

c와 d는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$r\cos (\theta+\alpha)=c$

$r\sin (\theta+\alpha)=d$

 

위 두 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$r\left ( \cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha \right )=c$

$r\left ( \sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha \right )=d$

 

위에서 구한 a와 b에 대한 식을 대입합시다. 

 

$a\cos\theta-b\sin\theta=c$

$a\sin\theta+b\cos\theta=d$

 

벡터와 행렬의 곱으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\ 
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a\\ 
b
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
c\\ 
d
\end{bmatrix}$