그래디언트의 이해 (4) 2변수 함수 예시 (3차원 평면)

세 점 A,B,C를 지나는 평면이 있다고 합시다. 

 

A(1,0,0)
B(0,1,0)

C(0,0,1)

 

이 평면의 법선벡터를 $\vec{n}=(a,b,c)$ 라고 놓겠습니다. 

 

이제 평면의 방정식을 만들어봅시다. 한 점 A를 지나고 법선벡터가 $\vec{n}=(a,b,c)$ 인 평면의 방정식은 아래와 같습니다. 

 

$a(x-1)+by+cz=0$

 

이제 계수를 구해봅시다. 점 A,B,C 이용해서 평면 위에 있는 벡터 두개를 만들고, 법선과 내적한 결과가 0이라는 성질을 이용할 것입니다. 아래와 같이 벡터 두개를 먼저 만들겠습니다. 

 

$\vec{AB}=(-1,1,0)$

$\vec{AC}=(-1,0,1)$

 

아래 내적의 결과가 0입니다. 

 

$\vec{AB}\vec{n}=-a+b=0$

$\vec{AC}\vec{n}=-a+c=0$

 

a=b와 a=c 라는 결과를 얻습니다. 위에서 세운 평면의 방정식에 대입하면 아래와 같은 결과를 얻습니다. 

 

$x+y+z=1$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$z=1-x-y$

 

이번수 함수 형태로 만들면 아래와 같습니다. 

 

$f(x,y)=1-x-y$

 

그래디언트를 구해봅시다. 

 

$\nabla f=\left( \frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y} \right)=\left( -1,-1 \right)$

 

평면의 가장 가파른 경사방향입니다.