자코비안의 이해 (2) 변환행렬과 행렬식

우리는 지난시간까지 변환이 무엇인지 배웠습니다. 자코비안을 이해하려면 변환행렬과 행렬식의 의미도 알아야 합니다. 오늘은 변환행렬과 행렬식의 의미를 알아봅시다.

 

변환행렬

변환 중에서 행렬 형태로 표현이 가능한 변환이 있습니다. 예를 들면 아래와 같습니다. 

$\begin{bmatrix} a &b \\  c &d  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u\\  v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\  y \end{bmatrix}$

uv 평면의 좌표에 행렬을 곱하여 xy 평면의 좌표로 변환할 수 있습니다. 위 행렬을 변환행렬이라고 합니다. 

 

변환행렬의 행렬식

위 변환행렬의 행렬식은 ad-bc 입니다. 행렬식이 변환에서 어떤 의미를 갖는지 알아봅시다. 

uv 평면에 아래와 같은 영역이 있다고 합시다. 넓이는 1입니다. 

위 변환을 적용하면 각 꼭지점들은 아래와 같이 변환됩니다. 

$(1,1) \rightarrow A(a+b,c+d)$

$(2,1) \rightarrow B(2a+b,2c+d)$

$(1,2) \rightarrow C(a+2b,c+2d)$

$(2,2) \rightarrow D(2a+2b,2c+2d)$

xy 평면 위의 점 A,B,C,D 는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 정확한 위치는 모르지만 사각형 형태가 됩니다. 

 

이제 이 넓이를 구할건데요. 아래와 같이 두개의 삼각형으로 ABC와 BDC로 나누겠습니다. 

삼각형 ABC의 넓이는 아래 두 벡터를 이용하여 구할 수 있습니다. 

$\vec{AC}=(b,d)$

$\vec{AB}=(a,c)$

삼각형 BDC의 넓이는 아래 두 벡터를 이용하여 구할 수 있습니다. 

$\vec{CD}=(a,c)$

$\vec{BD}=(b,d)$

벡터 AC와 BD가 같고, AB와 CD가 같습니다. 위 사각형은 평행사변형입니다. 삼각형 ABC만 구하고 두배하면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있습니다. 삼각형 ABC의 넓이는 아래와 같이 계산됩니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | \vec{AC} \right |\left | \vec{AB} \right |\sin\theta$

우변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | \vec{AC} \right |\left | \vec{AB} \right |\sqrt{1-\cos^2\theta}$

코사인과 내적의 관계를 이용하여 우변을 아래와 같이 변형합시다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | \vec{AC} \right |\left | \vec{AB} \right |\sqrt{1-\frac{\left ( \vec{AC}\cdot\vec{AB} \right )^2  }{\left ( \left | \vec{AC} \right | \left | \vec{AB} \right | \right )^2 }}$

아래와 같이 계산해줍니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( \left | \vec{AC} \right | \left | \vec{AB} \right | \right )^2- \left ( \vec{AC}\cdot\vec{AB} \right )^2 }$

벡터 성분을 이용하여 아래와 같이 계산합니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( b^2+d^2 \right )\left ( a^2+c^2 \right )-\left ( ab+cd \right )^2  }$

아래와 같이 전개합니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+d^2a^2+d^2c^2-a^2b^2-2abcd-c^2d^2  }$

아래와 같이 계산합니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2+d^2a^2-2abcd  }$

아래와 같이 완전제곱식으로 만들어줍니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( ad-bc \right )^2  }$

아래와 같이 변형합니다. 

$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | ad-bc \right |$

따라서 평행사변형의 넓이는 아래와 같습니다. 

평행사변형 넓이 = $\left | ad-bc \right |$

넓이가 1인 영역에 행렬변환을 적용하니 넓이가 $\left | ad-bc \right |$가 되었습니다. 행렬변환 후의 넓이가 행렬변환 전의 넓이의 '행렬식의 절댓값배'인 것을 알 수 있습니다.