우리는 지난시간까지 변환이 무엇인지 배웠습니다. 자코비안을 이해하려면 변환행렬과 행렬식의 의미도 알아야 합니다. 오늘은 변환행렬과 행렬식의 의미를 알아봅시다.
변환행렬
변환 중에서 행렬 형태로 표현이 가능한 변환이 있습니다. 예를 들면 아래와 같습니다.
$\begin{bmatrix}
a &b \\
c &d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u\\
v
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}$
uv 평면의 좌표에 행렬을 곱하여 xy 평면의 좌표로 변환할 수 있습니다. 위 행렬을 변환행렬이라고 합니다.
변환행렬의 행렬식
위 변환행렬의 행렬식은 ad-bc 입니다. 행렬식이 변환에서 어떤 의미를 갖는지 알아봅시다.
uv 평면에 아래와 같은 영역이 있다고 합시다. 넓이는 1입니다.
위 변환을 적용하면 각 꼭지점들은 아래와 같이 변환됩니다.
$(1,1) \rightarrow A(a+b,c+d)$
$(2,1) \rightarrow B(2a+b,2c+d)$
$(1,2) \rightarrow C(a+2b,c+2d)$
$(2,2) \rightarrow D(2a+2b,2c+2d)$
xy 평면 위의 점 A,B,C,D 는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 정확한 위치는 모르지만 사각형 형태가 됩니다.
이제 이 넓이를 구할건데요. 아래와 같이 두개의 삼각형으로 ABC와 BDC로 나누겠습니다.
삼각형 ABC의 넓이는 아래 두 벡터를 이용하여 구할 수 있습니다.
$\vec{AC}=(b,d)$
$\vec{AB}=(a,c)$
삼각형 BDC의 넓이는 아래 두 벡터를 이용하여 구할 수 있습니다.
$\vec{CD}=(a,c)$
$\vec{BD}=(b,d)$
벡터 AC와 BD가 같고, AB와 CD가 같습니다. 위 사각형은 평행사변형입니다. 삼각형 ABC만 구하고 두배하면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있습니다. 삼각형 ABC의 넓이는 아래와 같이 계산됩니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | \vec{AC} \right |\left | \vec{AB} \right |\sin\theta$
우변을 아래와 같이 변형할 수 있습니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | \vec{AC} \right |\left | \vec{AB} \right |\sqrt{1-\cos^2\theta}$
코사인과 내적의 관계를 이용하여 우변을 아래와 같이 변형합시다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | \vec{AC} \right |\left | \vec{AB} \right |\sqrt{1-\frac{\left ( \vec{AC}\cdot\vec{AB} \right )^2 }{\left ( \left | \vec{AC} \right | \left | \vec{AB} \right | \right )^2 }}$
아래와 같이 계산해줍니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( \left | \vec{AC} \right | \left | \vec{AB} \right | \right )^2-
\left ( \vec{AC}\cdot\vec{AB} \right )^2 }$
벡터 성분을 이용하여 아래와 같이 계산합니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( b^2+d^2 \right )\left ( a^2+c^2 \right )-\left ( ab+cd \right )^2 }$
아래와 같이 전개합니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+d^2a^2+d^2c^2-a^2b^2-2abcd-c^2d^2 }$
아래와 같이 계산합니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2c^2+d^2a^2-2abcd }$
아래와 같이 완전제곱식으로 만들어줍니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\sqrt{\left ( ad-bc \right )^2 }$
아래와 같이 변형합니다.
$\bigtriangleup ABC=\frac{1}{2}\left | ad-bc \right |$
따라서 평행사변형의 넓이는 아래와 같습니다.
평행사변형 넓이 = $\left | ad-bc \right |$
넓이가 1인 영역에 행렬변환을 적용하니 넓이가 $\left | ad-bc \right |$가 되었습니다. 행렬변환 후의 넓이가 행렬변환 전의 넓이의 '행렬식의 절댓값배'인 것을 알 수 있습니다.
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