[고급 행렬 연산] 8. 한 벡터를 다른 벡터에 투영

편의상 벡터의 화살표 기호는 생략하겠습니다. 영어 소문자가 벡터, 그리스문자가 상수입니다. 

두 벡터 a와 b가 있다고 합시다. 벡터 a를 벡터 b에 투영한 벡터를 구해봅시다. 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. 

u와 b는 수직이므로, u와 b의 내적은 0입니다. 따라서 아래 등식이 성립합니다. 

$u^{T}b=0$

$u=a-\alpha b$ 이므로 아래 등식이 성립합니다. 

$(a-\alpha b)^{T} b=0$

아래와 같이 변형합니다. 전치를 해주었습니다. 

$(a^T-\alpha b^T ) b=0$

아래와 같이 전개합니다. 

$a^Tb-\alpha b^Tb=0$

$\alpha$에 대해 정리해줍니다. 

$\alpha=\frac{a^Tb}{b^Tb}$

따라서 벡터 a를 벡터 b에 투영한 벡터는 아래와 같습니다. 

$\frac{a^Tb}{b^Tb}\vec{b}$