[중등수학 1-2] 부채꼴 호의 길이 구하는 식은 어떻게 유도될까?

반지름이 $r$이고 중심각이 $x$인 부채꼴의 호의 길이 $l$은 아래와 같이 구합니다. 

$l=2\pi r \times \frac{x^{\circ}}{360^{\circ}}$

이 식이 어떻게 유도된 것인지 알아봅시다. 

반지름이 $r$이고 중심각이 $x$인 부채꼴의 호의 길이를 $l$ 이라고 합시다. 만약 중심각 $x$가 2배가 된다면 호의 길이는 어떻게 될까요? $2l$이 된다는 것을 알 수 있습니다. 이게 왜그런지 궁금한 분이 혹시 있나요? 대부분의 사람들은 추가적인 설명 없이 당연한 사실로 받아들여질 겁니다. 혹시 의문이 든다면 댓글을 달아주세요. 

따라서 우리는 호의 길이가 중심각의 크기에 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 이러한 원리를 이용하여 아래와 같은 비례식을 세울 수 있습니다.

$2\pi r : 360^{\circ} = l : x^{\circ}$

비례식에 익숙하지 않은 분들은 아래 분수식을 먼저 세우면 됩니다.  

$\frac{2\pi r}{360^{\circ}}=\frac{l}{x}$

"분모가 360도 일 때 분자가 $2\pi r$이면, 분모가 $x$도 일 때 분자는 $l$이다" 라는 의미입니다. 

위 식을 변형하면 아래 공식이 유도됩니다. 

$l=2\pi r \times \frac{x ^{\circ}}{360^{\circ}}$