행렬형태의 연립방정식을 이해하는 세가지 관점

아래와 같은 연립방정식이 있다고 합시다. 

$x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=3 \\
2x_{1}-x_{2}+4x_{3}=1 \\
3x_{1}-3x_{2}+2x_{3}=1$

 

행렬형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\ 
2 & -1 & 4\\ 
3 & -3 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
3\\ 
1\\ 
1
\end{bmatrix}$

 

3차원 공간을 떠올릴 수 있는 익숙한 미지수인 x,y,z 로 바꾸겠습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\ 
2 & -1 & 4\\ 
3 & -3 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\ 
y\\ 
z
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
3\\ 
1\\ 
1
\end{bmatrix}$

 

관점 1. 세 평면의 교점

위 연립방정식의 미지수 x,y,z 를 아래 세 평면의 교점이라고 생각할 수 있습니다.

 

$x+2y-3z=3 \\
2x-y+4z=1 \\
3x-3y+2z=1$

 

가장 일반적인 관점입니다. 

 

관점 2. 벡터의 합성

위 연립방정식을 아래와 같이 열벡터들의 합으로 변형해봅시다.

 

$\begin{bmatrix}
1\\ 
2\\ 
3
\end{bmatrix}x
+\begin{bmatrix}
2\\ 
-1\\ 
-3
\end{bmatrix}y
+\begin{bmatrix}
-3\\ 
4\\ 
2
\end{bmatrix}z
=\begin{bmatrix}
3\\ 
1\\ 
1
\end{bmatrix} $

 

좌변의 세 벡터를 합성하여 우변의 벡터를 만들고자 할 때, 곱해져야 하는 계수가 x,y,z 입니다. 

 

관점 3. 선형변환

벡터에 행렬을 곱하면 벡터가 나옵니다. 행렬은 벡터를 다른 벡터로 변환합니다. 아래 수식을 변환의 관점으로 이해해봅시다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\ 
2 & -1 & 4\\ 
3 & -3 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
3\\ 
1\\ 
1
\end{bmatrix}$

 

곱해진 행렬은 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ 라는 벡터를 $(3,1,1)$이라는 벡터로 선형변환하는 행렬입니다. 반드시 같은 차원으로 변환되는 것은 아닙니다. 아래 행렬은 3차원벡터를 4차원 벡터로 변환합니다. 

 

$\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\ 
2 & -1 & 4\\ 
3 & -3 & 2\\ 

1 & 5 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}\\ 
x_{3}
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
3\\ 
1\\ 

1\\ 
5
\end{bmatrix}$

 

일반화 하면 이렇습니다. $m \times n$ 행렬은 n차원 벡터를 m차원벡터로 변환합니다.