[고급 행렬 연산] 3. 행렬과 행렬의 곱의 성분을 시그마로 나타내기

아래와 같이 두 행렬이 있습니다. 

$A=\begin{bmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ 
\vdots  &  &\vdots \\ 
A_{m1} & \cdots & A_{mn}
\end{bmatrix}$

$B=\begin{bmatrix}
B_{11} & \cdots & B_{1p}\\ 
\vdots  &  &\vdots \\ 
B_{n1} & \cdots & B_{np}
\end{bmatrix}$

A는 (mxn) 행렬이고 B는 (nxp) 행렬입니다. 따라서 곱셈이 가능하고 곱셈 결과는 (mxp) 행렬이 됩니다. 

우리가 구하고 싶은 것은 곱한 결과인 행렬 AB의 성분을 행렬 A와 행렬 B의 성분으로 나타내는 것입니다. 행렬 AB의 성분을 몇개 구해보면 아래와 같습니다. 

$\left ( AB \right )_{11}=A_{11}B_{11}+\cdots + A_{1n}B_{n1}$

$\left ( AB \right )_{12}=A_{11}B_{12}+\cdots + A_{1n}B_{n2}$

$\left ( AB \right )_{21}=A_{21}B_{11}+\cdots + A_{2n}B_{n1}$

$\left ( AB \right )_{22}=A_{21}B_{12}+\cdots + A_{2n}B_{n2}$

일반화 시키면 아래와 같습니다. 

$\left ( AB \right )_{ij}=A_{i1}B_{1j}+\cdots + A_{in}B_{nj}$

시그마 형태로 표현하면 아래와 같습니다. 

$\left ( AB \right )_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$