라그랑주 승수법 (쉬운설명)

x+y 의 최댓값을 찾고 싶은 상황을 가정 해봅시다. 아래와 같은 조건이 걸려 있는 상황입니다.

 

$x^2+y^2=1$

 

x+y=k 라고 놓고 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. k는 y절편입니다. 

 

 

k의 최댓값을 찾아야 하는데요. k의 최댓값은 직선이 원에 접할때 발생합니다. 여기서 주의해야할 점은 직선이 원이 접할때가 항상 최댓값은 아니라는 것입니다. 직선이 원 아래에서 접하면 최솟값이 될 수도 있습니다. 따라서 우리는 직선이 원에 접하는 k 값을 중에 최댓값을 찾아야 합니다. 

 

이제 차원을 하나 확장해봅시다. 

 

x+y+z 의 최댓값을 구하고 싶은 상황입니다. 아래와 같은 조건이 걸려 있습니다. 

 

$x^2+y^2+z^2=1$

 

x+y+z=k 라고 놓고 k의 최댓값을 구하면 됩니다. x+y+z=k 는 평면입니다. $x^2+y^2+z^2=1$는 구 입니다. 최댓값은 구와 평면이 접하는 곳에서 발생합니다. 구와 평면이 접하는 곳의 gradient를 생각해봅시다. 구와 평면이 접하는 곳의 gradient 는 방향이 같습니다. 

 

이제 함수로 일반화해 봅시다. 우리는 $f(x,y)$ 의 극값을 구하고 싶은 상황입니다. 만족해야 하는 조건은 $g(x,y)=c$ 입니다. 이때 극값은 아래와 같은 조건을 만족하는 지점에서 발생합니다.  

 

$\bigtriangledown f=\lambda \bigtriangledown g$

 

람다는 임의의 상수입니다.