고윳값과 고유벡터 쉽게 이해하기

1) 고윳값과 고유벡터란?

어떤 행렬 A가 있다고 합시다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱하면 벡터가 선형변환됩니다. 어떤 벡터에 행렬 A를 곱했는데, 그 결과가 벡터의 상수배가 되는 벡터가 존재할 수 있습니다. 아래와 같은 등식이 성립하는 것입니다. 

$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$

2x2 행렬과 2차원 벡터를 예로 들면 아래와 같습니다. 

$\begin{bmatrix}
a &b \\ 
c &d 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}
=\lambda \begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}$

이러한 조건을 만족하는 벡터를 행렬 A의 고유벡터, $\lambda$를 고유값이라고 부릅니다. 

 

2) 고윳값과 고유벡터 구하는 방법

아래 식을 다시 봅시다. 

$A\vec{x}=\lambda \vec{x}$

우변을 좌변으로 이항하여 아래와 같이 변형합니다. 

$\left ( A-\lambda \right )\vec{x}=0$

위 식을 만족시키는 방법은 세가지가 있습니다. 

ⓛ $(A-\lambda)=0$
② $\vec{x}=0$
③ 위 두 항이 둘다 0이 아니지만 곱은 0

ⓛ의 경우는 A가 단위행렬이어야 하고, 단위행렬인 경우는 고윳값과 고유벡터를 구하는게 의미가 없습니다. 모든 벡터가 고유벡터가 될 조건을 만족합니다. ②번의 경우를 trivial solution 이라고 부릅니다. 하찮은 해 입니다. 등식은 만족시키지만 별 의미가 없습니다. 우리는 3번을 구해야 합니다. 

$(A-\lambda)$의 행렬식을 생각해봅시다. 만약 $(A-\lambda)$의 행렬식이 0이 아니라서 역행렬이 있다면, 양변에 역행렬을 곱할 수 있고 $\vec{x}=0$ 라는 하찮은 결과가 나옵니다. $\vec{x}=0$이 나오지 않게 하려면 $(A-\lambda)$의 행렬식이 0이면 됩니다. 

$det(A-\lambda)=0$ 이라는 조건을 이용하여 $\lambda$를 구할 수 있습니다. 구한 $\lambda$를 $\left ( A-\lambda \right )\vec{x}=0$ 식에 대입하여 $\vec{x}$를 구하면 됩니다. 

 

3) 예시

아래 행렬의 교윳값과 고유벡터를 구해봅시다. 

$A=\begin{bmatrix}
1 &2 \\ 
4 &3 
\end{bmatrix}$

아래 등식을 만족하는 람다와 벡터를 구해야합니다. 

$\begin{bmatrix}
1 &2 \\ 
4 &3 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}
=\lambda
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}$

아래 등식을 만족하는 람다를 먼저 구해야합니다. 

$det(A-\lambda)=0$

아래와 같이 표현할 수 있습니다. 

$\begin{vmatrix}
1-\lambda &2 \\ 
4 &3-\lambda 
\end{vmatrix}=0$

좌변을 계산하면 아래와 같습니다. 

$(1-\lambda)(3-\lambda)-8=0$

아래와 같이 전개합니다. 

$\lambda^2-4\lambda-5=0$

아래와 같이 인수분해합니다. 

$(\lambda-5)(\lambda+1)=0$

$\lambda$가 5인 경우는 아래와 같습니다. $x_{1}$과 $x_{2}$를 구하면 됩니다.  

$\begin{bmatrix}
1 &2 \\ 
4 &3 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}
=5
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}$

위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

$-4x_{1}+2x_{2}=0$
$4x_{1}-2x_{2}=0$

계산하면 아래와 같습니다. 

$x_{1}=2x_{2}$

매개변수 형태로 표현하면 벡터는 아래와 같습니다. 

$(t,2t)$

$\lambda$가 -1인 경우는 아래와 같습니다. $x_{1}$과 $x_{2}$를 구하면 됩니다.  

$\begin{bmatrix}
1 &2 \\ 
4 &3 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}
=-
\begin{bmatrix}
x_{1}\\ 
x_{2}
\end{bmatrix}$

위 식은 아래와 같이 변형됩니다. 

$2x_{1}+2x_{2}=0$
$4x_{1}+4x_{2}=0$

계산하면 아래와 같습니다. 

$x_{1}=-x_{2}$

매개변수 형태로 표현하면 벡터는 아래와 같습니다. 

$(t,-t)$

요약해봅시다. 

교윳값은 5와 -1 입니다. 고윳값이 5일 때 고유벡터는 $(t,2t)$ 이고, 고윳값이 -1 일때 교유벡터는 $(t,-t)$ 입니다.