어떤 벡터 →v→v가 있다고 합시다. 이 벡터를 기저 →e1→e1과 →e2→e2를 이용하여 나타내면 (x,y)(x,y) 라고 하겠습니다.
→v=x→e1+y→e2→v=x→e1+y→e2
같은 벡터를 기저 →g1→g1 과 →g2→g2로 나타내면 어떻게 되는지를 구하는 것이 목적입니다.
기저들 사이의 관계는 아래와 같습니다. 아래 식을 1번 식이라고 놓겠습니다.
→g1=a11→e1+a12→e2→g1=a11→e1+a12→e2
→g2=a21→e1+a22→e2→g2=a21→e1+a22→e2
위 조건들을 이용하여 벡터 →v→v 를 기저 →g1→g1 과 →g2→g2로 나타내면 어떻게 되는지를 구해봅시다.
벡터 →v→v 를 기저 →g1→g1 과 →g2→g2로 나타내면 (m,n)(m,n) 라고 가정하면 아래 등식을 세울 수 있습니다.
x→e1+y→e2=m→g1+n→g2x→e1+y→e2=m→g1+n→g2
1번 식을 대입합니다.
x→e1+y→e2=m(a11→e1+a12→e2)+n(a21→e1+a22→e2)x→e1+y→e2=m(a11→e1+a12→e2)+n(a21→e1+a22→e2)
아래와 같이 전개합니다.
x→e1+y→e2=ma11→e1+ma12→e2+na21→e1+na22→e2x→e1+y→e2=ma11→e1+ma12→e2+na21→e1+na22→e2
아래와 같이 묶어줍니다.
x→e1+y→e2=(ma11+na21)→e1+(ma12+na22)→e2x→e1+y→e2=(ma11+na21)→e1+(ma12+na22)→e2
각 기저 앞에 붙은 계수끼리 같아야 하므로 아래 등식을 얻습니다.
x=ma11+na21x=ma11+na21
y=ma12+na22y=ma12+na22
행렬 형태로 나타내면 아래와 같습니다.
[xy]=[a11a21a12a22][mn]
x,y를 이용하여 m,n 을 구하고 싶은 것이므로 아래와 같이 역행렬을 취합니다.
[mn]=[a11a21a12a22]−1[xy]
댓글