기저변환 쉽게 이해하기 (좌표변환)

어떤 벡터 $\vec{v}$가 있다고 합시다. 이 벡터를 기저 $\vec{e}_{1}$과 $\vec{e}_{2}$를 이용하여 나타내면 $(x,y)$ 라고 하겠습니다.

 

$\vec{v}=x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}$

 

같은 벡터를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2}$로 나타내면 어떻게 되는지를 구하는 것이 목적입니다. 

 

기저들 사이의 관계는 아래와 같습니다. 아래 식을 1번 식이라고 놓겠습니다. 

 

$\vec{g}_{1}=a_{11}\vec{e}_{1}+a_{12}\vec{e}_{2}$
$\vec{g}_{2}=a_{21}\vec{e}_{1}+a_{22}\vec{e}_{2}$

 

위 조건들을 이용하여 벡터 $\vec{v}$ 를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2}$로 나타내면 어떻게 되는지를 구해봅시다. 

 

벡터  $\vec{v}$ 를 기저 $\vec{g}_{1}$ 과 $\vec{g}_{2}$로 나타내면 $(m,n)$ 라고 가정하면 아래 등식을 세울 수 있습니다. 

 

$x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}=m\vec{g}_{1}+n\vec{g}_{2}$

 

1번 식을 대입합니다. 

 

$x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}=
m\left ( a_{11}\vec{e}_{1}+a_{12}\vec{e}_{2} \right )+
n\left ( a_{21}\vec{e}_{1}+a_{22}\vec{e}_{2} \right )$

 

아래와 같이 전개합니다. 

 

$x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}=
ma_{11}\vec{e}_{1}+ma_{12}\vec{e}_{2}+
na_{21}\vec{e}_{1}+na_{22}\vec{e}_{2}$

 

아래와 같이 묶어줍니다. 

 

$x\vec{e}_{1}+y\vec{e}_{2}=
\left ( ma_{11}+na_{21} \right )\vec{e}_{1}+
\left ( ma_{12}+na_{22} \right )\vec{e}_{2}$

 

각 기저 앞에 붙은 계수끼리 같아야 하므로 아래 등식을 얻습니다. 

 

$x=ma_{11}+na_{21}$

$y=ma_{12}+na_{22}$

 

행렬 형태로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
x\\ 
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{21} \\ 
a_{12} &a_{22} 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
m\\ 
n
\end{bmatrix}$

 

x,y를 이용하여 m,n 을 구하고 싶은 것이므로 아래와 같이 역행렬을 취합니다. 

 

$\begin{bmatrix}
m\\ 
n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} &a_{21} \\ 
a_{12} &a_{22} 
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
x\\ 
y
\end{bmatrix}$