자코비안의 이해 (2) 행렬식이 넓이 변화율인 이유

행렬을 벡터에 곱하면 벡터가 선형변환됩니다. 아래와 같은 행렬 A가 있다고 합시다. 

$A=\begin{bmatrix}
a & b\\ 
c & d
\end{bmatrix}$

이 행렬이 단위 기저벡터를 어떻게 바꾸는지 생각해봅시다. 이 행렬은 기저벡터 (1,0) 을 (a,c)로 바꾸고 (0,1) 을 (b,d)로 바꿉니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

벡터들로 만들어지는 평행사변형을 그려봅시다. 

 

 

왼쪽평행사변형의 넓이는 1이고, 오른쪽 평행사변형의 넓이는 ad-bc 입니다. 행렬 A를 곱한 변환은 넓이 1을 ad-bc로 변화시킵니다. 차원이 하나 증가하여 3차원이 되면, 행렬식은 부피 변화율이 됩니다. 

 

선형변환에서 변환행렬의 행렬식은 scale factor 입니다.