e를 찾아라 (지수의 미분)

자연상수 e가 발견되기 전 상황을 가정해봅시다. 지수함수를 미분하는 과정에서 자연상수가 자연스럽게 발견된다는 것을 보여드리겠습니다. 

아래와 같이 밑이 a인 지수함수가 있습니다. 

$y=a^x$

미분을 한번 해봅시다. 함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$

위 지수함수에 적용하면 아래와 같습니다. 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h}-a^x}{h}$

 

우변의 분자를 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}\left ( a^h-1 \right )}{h}$

 

아래와 같이 치환합니다. 

 

$a^h-1=p$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$a^h=p+1$

 

양변에 밑이 a인 로그를 취합니다. 

 

$h=\log_{a}(p+1)$

 

원래 유도하던 식에 넣어줍니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}p }{ \log_{a}(p+1) }$

 

아래와 같이 변형합니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x}}{ \log_{a}(p+1)^\frac{1}{p} }$

 

$a^h-1=p$ 에서 h가 0이면, p도 0입니다. 따라서 극한기호를 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{p\rightarrow 0} \frac{a^{x}}{ \log_{a}(p+1)^\frac{1}{p} }$

 

아래와 같이 극한과 상관없는 식을 밖으로 꺼내줍니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=a^{x} \lim_{p\rightarrow 0} \frac{1}{ \log_{a}(p+1)^\frac{1}{p} }$

 

극한 기호를 로그 안으로 넣어줍니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=a^{x} \frac{1}{ \log_{a}  \left \{ \lim_{p\rightarrow 0}(p+1)^\frac{1}{p} \right \} }$

 

만약 저 극한이 어떤 값으로 수렴한다는 것을 증명할 수 있다면 어떤 일이 벌어질까요? 우리는 지수를 굉장히 자연스럽게 사용할 수 있을겁니다. 저 값의 수렴값을 e라고 놓아봅시다. 

 

$\frac{dy}{dx}=a^{x} \frac{1}{ \log_{a} e }$

 

처음 설정했던 로그의 밑을 e 라고 놓을 경우 아래와 같은 일이 벌어집니다. 

$\left ( e^x \right )'=e^x$

 

미분의 결과가 군더더기 없이 자연스러워집니다. 지수의 가장 자연스러운 밑을 발견한 순간입니다. 

 

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