[수학 1] (1-51) a의 범위에 따른 지수함수의 그래프 (점근선, 반드시 지나는 점)

[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (51) a의 범위에 따른 지수함수의 그래프 (점근선, 반드시 지나는 점)

 

지난시간에 지수함수를 정의했습니다. 지수함수는 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$y=a^{x}$ 이고 a는 1이 아닌 양의 실수이다. 

 

$y=a^{x}$의 그래프는 a의 범위에 따라 두가지 형태로 나뉩니다. $0<a<1$ 인 경우와 $1<a$인 경우로 나뉘는데요. 왜 이렇게 둘로 나뉘는 것인지는 예시를 통해 자연스럽게 알게 되실겁니다. 아래 두가지 지수함수의 그래프를 하나씩 그려봅시다. 

 

$y=2^x$

 

$y=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$

 

$y=2^x$를 먼저 그려봅시다. 먼저 x에 0을 넣으면, y는 1이 됩니다. 따라서 (0,1)을 지나는 그래프라는 것을 알 수 있습니다. 또한 x가 커지면 y도 커집니다. 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 

 

 

위 예시를 통해 $y=a^{x}$에서 a가 1보다 크면 위와 같은 그래프가 그려진다는 것을 알 수 있습니다. a가 1보다 큰 경우에는 $a^x$가 증가함수가 되기 때문입니다. x가 커지면 함수 값도 커집니다.

 

이번에는 $y=\left ( \frac{1}{2} \right )^x$ 의 그래프를 그려봅시다. 이 수식은 아래와 같은 형태로 바꿔 쓸 수 있습니다. 

 

$y=\frac{1}{2^x}$ 

 

x가 커지면 분모가 커지므로 전체 값은 작아집니다. 따라서 감소함수가 됩니다. 그래프를 그려보면 아래와 같습니다. 

 

 

위 예시를 통해 $y=a^{x}$에서 a의 범위가 $0<a<1$ 이면 위와 같은 그래프가 그려진다는 것을 알 수 있습니다. 

 

$y=a^{x}$의 그래프에는 두 가지 공통된 성질이 있는데요. 아래와 같습니다.

 

(0,1) 을 반드시 지남

x축을 점근선 가짐

 

첫번째 성질을 설명하겠습니다. $y=a^{x}$ 에서 x에 0을 대입하면 a의 0제곱이므로 a의 값과 상관없이 결과는 1입니다. 따라서 (0,1)을 반드시 지나게 됩니다. 

 

두번째 성질을 설명하겠습니다.  $y=a^{x}$ 에서 a>1 인 경우인 첫번째 그림을 봅시다. x가 커지면 함수 값은 계속 커집니다. 반대로 x가 작아지면 함수값은 작아지며 x축에 가까워져 갑니다. 함수값이 0이 되지는 않습니다. 이때 x축을 점근선이라고 부릅니다. 두번째 그림을 보면, 0<a<1 인 경우에도 x축을 점근선으로 갖습니다.