[수학 1] (1-46) 상용로그의 정수부분의 성질

[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (46) 상용로그 정수부분의 성질

상용로그의 정수부분의 성질은 두 질문에 대한 답을 구하는 과정에서 등장합니다. 먼저 첫번째 질문입니다. 

 

정수부분이 n자리인 수의 상용로그의 정수부분은 얼마일까? 

간단한 예를 들어봅시다. 1234는 정수부분이 네자리인 수입니다. $\log1234$ 의 정수부분이 얼마인지 구하면 됩니다. $\log 1234$ 를 정수부분과 소수부분으로 분리하면 아래와 같습니다. 

 

$\log 1234=3+\log 1.234$

 

소수부분은 0이상 1 미만이어야 하고, 로그형태로는 $\log 1$ 이상 $\log 10$ 미만입니다. 따라서 위 분리는 맞습니다. 4자리 수의 상용로그의 정수부분은 3자리입니다. 몇개를 더 해보면 n자리 수의 상용로그의 정수부분이 n-1 이라는 것을 쉽게 알 수 있을겁니다. 

 

일반화 시켜서 이해해봅시다. 오히려 어려울 수 있으니 위 설명으로 만족하시는 분들은 넘어가셔도 됩니다. n자리 수가 아래와 같이 있다고 합시다. 

 

$a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$

 

상용로그를 취합시다. 

 

$\log a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$

 

정수부분과 소수부분을 분리하기 위해 $a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}$ 은 $a_{1}$ 뒤에 소수점이 붙은 수와 $10^{n-1}$의 곱으로 변형 됩니다. 이때 $\log 10^{n-1}$ 이 정수부분이고 계산하면 n-1입니다. 

 

이번에는 두번째 질문에 답해봅시다. 

 

소수점 아래 n째 자리에 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나는 수의 상용로그의 정수부분은 얼마일까? 

마찬가지로 간단한 예에서 시작합시다. 0.000123은 소수점 네번째 자리에서 처음 0이 아닌 숫자가 등장합니다. $\log 0.000123$ 를 정수부분과 소수부분으로 분리하면 아래와 같습니다. 

 

$\log 0.000123=-4+\log 1.23$

 

소수점 네번째 자리에서 처음 0이 아닌 숫자가 등장하는 수의 상용로그의 정수부분은 -4입니다. 몇개 더 해보면 소수점 아래 n째 자리에 처음 0이아닌 숫자가 나타나는 수의 정수부분은 -n이라는 것을 알 수 있습니다. 일반화는 생략합니다.