1/x 를 적분하면 왜 ln|x| 일까 (절댓값이 왜 생길까)

$\frac{1}{x}$ 를 적분하면 $\ln\left | x \right |$ 가 됩니다. 이때 왜 절댓값이 생기는 걸가요? 오늘 그 이유를 알아봅시다. 

 

$y=\ln x$ 의 미분에서 출발합시다. x 는 로그의 진수이므로 양수입니다. 

 

$y=\ln x \quad (x>0)$

 

함수의 미분은 아래와 같이 정의됩니다. 

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$

 

위 함수에 적용하면 아래와 같습니다.  

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(x+h)-\ln x}{x+h-x}$

 

아래와 같이 계산할 수 있습니다. 

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}$

 

우변에 x를 나누고 곱해줍니다. 1을 곱한것과 같습니다. 

 

$y'=\frac{1}{x}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x}{h}\ln(1+\frac{h}{x})$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$y'=\frac{1}{x}\lim_{h\rightarrow 0}\ln(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}$

 

우변의 극한값은 1이므로 아래와 같습니다. 

 

$y'=\frac{1}{x}$

 

따라서 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

$y=\ln x \quad (x>0)$ 의 미분은 $y'=\frac{1}{x}$ 이다. 

 

위 결과에 의해 $\frac{1}{x}$의 적분은 $\ln x$ 라고 할 수 있습니다만, 조건에 있습니다. x>0 인 경우에만 성립합니다. 그렇다면, x<0 인 경우에는 $\frac{1}{x}$의 적분을 구할 수 없는걸까요? 

 

이번에는 자연로그 함수를 아래와 같이 놓아봅시다. 

 

$y=\ln (-x) \quad (x<0)$

 

위 함수의 미분은 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(-(x+h))-\ln (-x)}{x+h-x}$

 

아래와 같이 계산할 수 있습니다. 

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(\frac{x+h}{x})}{h}$

 

아래와 같이 변형합시다.

 

$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\ln(1+\frac{h}{x})}{h}$

 

우변에 x를 나누고 곱해줍니다. 1을 곱한것과 같습니다. 

 

$y'=\frac{1}{x}\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x}{h}\ln(1+\frac{h}{x})$

 

아래와 같이 변형합시다. 

 

$y'=\frac{1}{x}\lim_{h\rightarrow 0}\ln(1+\frac{h}{x})^{\frac{x}{h}}$

 

우변의 극한값은 1이므로 아래와 같습니다. 

 

$y'=\frac{1}{x}$

 

따라서 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

$y=\ln (-x) \quad (x<0)$ 의 미분은 $y'=\frac{1}{x}$ 이다. 

 

위에서 계산한 두가지 결과를 함께 써보면 아래와 같습니다. 

 

$y=\ln x \quad (x>0)$ 의 미분은 $y'=\frac{1}{x}$ 이다. 

$y=\ln (-x) \quad (x<0)$ 의 미분은 $y'=\frac{1}{x}$ 이다. 

 

두 함수의 미분 결과가 같습니다. 반대로 $\frac{1}{x}$의 적분은 무엇일까요? x가 양수라면 $\ln x$ 이고 x가 음수라면 $\ln (-x)$ 입니다. 이는 절댓값으로 표현이 가능합니다. $\ln\left | x \right |$ 는 x가 양수일 때 $\ln x$ 이고, x가 음수일 때 $\ln (-x)$ 입니다. 

 

따라서 $\frac{1}{x}$ 의 적분은 $\ln\left | x \right |$ 입니다.