미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 e^x 가 유일할까? 3편

우리는 지금까지 미분해서 자기자신이 나오는 함수를 유도했습니다. 미분해서 자기 자신이 나오는 함수는 $y'=y$ 라는 미분방정식의 해입니다. $y=y'$ 을 아래와 같이 변형했습니다. 

 

$\frac{dy}{dx}=y$

 

y로 양변을 나누고 dx를 양변에 곱했습니다. 1번 과정이라고 놓겠습니다. 

 

$\frac{1}{y}dy=dx$

 

양변을 적분합니다. 

 

$\int \frac{1}{y}dy=\int 1dx$

 

적분을 계산합니다. 

 

$\ln \left | y \right |=x+C$

 

로그의 성질을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. 

 

$y=\pm e^x e^c$

 

여기서 1번 과정을 보면 dy와 dy를 마치 숫자인 것처럼 각각 분리해서 사용하고 있습니다. 2번과정에서는 dx와 dy가 갑자기 적분상수가 됩니다. 이래도 되는 것인지 의문이 드는 분들이 계실겁니다. 

 

위와 같이 dx와 dy를 각각 숫자인 것처럼 사용하는 것은 문제를 푸는데는 상관 없지만 고등학교에서 배운 $\frac{dy}{dx}$의 정의에는 위배되는 행위입니다. 

 

고등학교 수학에서 $\frac{dy}{dx}$는 아래와 같이 정의됩니다.

 

$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{h \rightarrow  0}\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}$

 

$\frac{dy}{dx}$ 는 dy를 dx로 나눈 값이 아니라 우변의 극한값을 나타내는 기호입니다. 따라서 dx와 dy는 개별적인 의미를 갖지 않습니다. 위 정의의하면 dx와 dy를 각각 따로 사용하는 것은 불가능합니다. 

 

$\frac{dy}{dx}$를 $\frac{d}{dx}$ 라는 연산자를 y에 적용한 것이라고 이해하면 위와 같은 오해를 하지 않을 수 있습니다. 

 

그.런.데

 

dx와 dy를 각각 따로 생각하여 계산해도 문제가 풀립니다. '안되지만 되는 것'입니다. 

 

dx와 dy를 따로 생각하지 않고 위 미분방정식을 계산해도 결과가 같다는 것을 보여드리겠습니다. $f'(x)=f(x)$에서 출발합시다. 양변을 f(x)로 나눠주겠습니다. 

 

$\frac{f'(x)}{f(x)}=1$

 

양 변을 x로 적분합니다. 

 

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int  1dx$

 

적분을 계산합니다. 

 

$\ln \left | f(x) \right |=x+C$

 

로그의 성질을 이용하여 변형하면 아래와 같습니다. 

 

$f(x)=\pm e^x e^c$

 

위에서 계산한 결과와 같습니다. 

 

현대 수학에서는 dx, dy를 개별적으로 정의하여 사용하는 분야가 있습니다. 

 

미분형식에서는 dx,dy 를 접선 벡터의 성분을 구하는 함수로 정의합니다. 

 

비표준해석학에서는 dx,dy 를 실수에 포함시켜서 '초실수'라는 새로운 실수를 정의합니다. 

 

오늘 내용의 요약입니다. 

 

"고등학교 과정에서 dx,dy 가 개별적인 의미를 갖지는 않지만, 각각 분리해서 생각해도 답은 나온다."