[수학 1] (1-44) 상용로그의 정수 부분과 소수 부분

[모듈식 수학 1] 1.지수함수와 로그함수 (44) 상용로그의 정수 부분과 소수 부분

모든 실수는 정수부분과 소수부분으로 나눌 수 있습니다. 예를 들어 3.14 의 정수부분은 3이고 소수 부분은 0.14입니다. 등식으로 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$3.14=3+0.14$

 

어떤 자연수 N의 상용로그 값도 실수이기 때문에 정수부분과 소수부분으로 나눌 수 있습니다. 상용로그를 실수부분과 소수부분으로 나누면 상용로그표를 사용하기 편해집니다. 그 이유를 지금부터 알아봅시다. 

 

어떤 자연수 N의 상용로그는 아래와 같이 정수부분과 소수부분으로 나눌 수 있습니다. 

 

$\log N=n+\alpha$

 

$\alpha$가 소수부분입니다. 소수이므로 0보다 같거나 크고 1보다 작습니다. 따라서 범위는 아래와 같습니다. 

 

$0\leq \alpha < 1$

 

상용로그의 소수부분을 로그 형태로 표현하면 상용로그표를 통해 그 값을 구할 수 있습니다. 소수부분 $\alpha$를 로그형태로 표현해줍시다. $\alpha=\log k$ 라고 놓고 치환하겠습니다. 

 

$\log N=n+\log k$

 

$\alpha$ 범위에 $\log k$를 넣으면 아래와 같습니다. 

 

$0\leq \log k < 1$

 

$k$ 의 범위를 구하면 아래와 같습니다. 

 

$1 \leq k <10$

 

1부터 10 사이의 로그값을 구해놓은 표가 상용로그표입니다. 우리는 상용로그표를 통해 $\log k$값을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 어떤 자연수 N의 상용로그를 아래와 같은 형태로 변형할 수 있다면 N의 상용로그값을 구할 수 있습니다. 

 

$\log N=n+\log k$

 

어떤 자연수 N의 상용로그값을 정수부분과 소수부분으로 나누는 방법을 알아봅시다. 숫자로 예를 들고 일반화시키겠습니다. 314의 로그값을 구해봅시다. 

 

$\log 314$

 

정수부분과 소수부분으로 나누기 위해 아래와 같이 변형합니다. 

 

$\log 314=\log (100 \times 3.14)$

 

우변을 둘로 분리합니다. 

 

$\log 314=\log 100 + \log 3.14$

 

우변의 첫 항은 2입니다. 둘째 항은 상용로그표에서 구할 수 있습니다. 0.4969입니다. 따라서 $\log 3.14$는 아래와 같이 계산됩니다. 

 

$\log 314=2.4969$

 

위 과정을 일반화시켜봅시다. 상용로그의 정수부분과 소수부분 수식을 다시 가져옵시다. 

 

$\log N=n+\log k$

 

우변의 $n$을 아래와 같이 변형합시다. 

 

$\log N=\log 10^n+\log k$

 

우변을 하나로 합쳐줍니다. 

 

$\log N=\log( 10^n \times k)$

 

어떤 수 N의 정수부분과 소수부분을 구할 때는 위 식과 같이 1이상 10미만의 k와 10의 거듭제곱을 곱한 형태로 바꿔주면 됩니다.